Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Pierre Fermat's Streit mit John Wallis. 565
7. Oktober 1657 zurückhalten; von diesem Schritt setzte er auch WALLIS
mit dem Bemerken in Kenntnis, er wolle sich näher mit der Aufgabe beschäftigen. In der That konnte er schon am 1. November 165731) dem
WALLIS das Bildungsgesetz der Reihe mitteilen, welche für jedes gegebene
a alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung ax2 + 1 = liefert, sobald
die beiden kleinsten bekannt sind. BROU.CKER giebt diese Reihe für 15
Beipiele, von denen eins hier folgen möge:
1 3 11 41
Für 3x2 + 1 = 1- ist die Reihe 1. 3 3 3 341
1 4 15 56
d. h. die Werte von x, welche 3x2 + I zu einem Quadrat machen, sind
1 1 3 1 3 11
1, 1 ~ 3- 14, 3 1 3 3 3 56,...
1 4 1 1 4 15
Was die Bildung dieser offenbar durch Induktion gefundenen Reihe betrifft,
so sollten die beiden ersten Glieder durch Probieren aus dem Ausdruck,
der die Aufgabe in rationalen Zahlen löst, gefunden werden, die folgenden
nach der Regel: Der Zähler jedes Bruches ist gleich seinem Nenner vermindert um den Nenner des vorhergehenden Bruches, und jeder Nenner ist
gleich dem Zähler des (unechten) Bruches, den man durch Einrichten der
vorhergehenden gemischten Zahl erhält.
Später fand BROUNCKER, dafs der kleinste Wert von x zur Bestimmung
aller übrigen genüge, dafs, wenn a -2 + i =_2 ist, auch a (2 +)2 +1 —
sei; in der That ist dann
(2 ~)2 + 1 = 4 '2 (a24 + ) + 1 = (2 a 2 + 1)2.
Er gab weiter noch andere32), aus dem Obigen leicht herzuleitende Ausdrücke für die Reihe der Werte von x. Ist x -, y =- die kleinste
Lösung der Gleichung ax2 + 1 y 2 und wird ' = 2 N gesetzt, so sind
die Werte von x
d, ~', l (~'2 — ), (~'3- 2 N')+), ( + )
d (15 - 4 -'3 + 3 '), (116 - 5 4 + 6 1/ -l),...
darin sind die Koeffizienten der ersten Glieder in den Klammern 1, die
der zweiten die Reihe der natürlichen Zahlen, die der dritten die Dreieckzahlen 1, 3, 6, 10,.., die der vierten die Pyramidalzahlen, d. i. (die
Summen der Dreieckzahlen) 1, 4, 10, 20,...; u. s. w. Für die Berechnung am einfachsten sind die folgenden, ebenfalls von BROUNCKER gegebenen Ausdrücke, in denen 1,.... die Werte von x bedeuten und
ä' wieder = 2 ist. Es ist
~1 = 12 =.1 3 = 'l2 ~ 2 — =1, '. - 1 - 1,3 - 5 5 q4,.
So z. B. hat die Gleichung 2 x + 1 = y2 die kleinste Lösung x = 2, y = 3.
31) Com'nm. ep. XIV. 32) Comm. ep. XVII.