Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Pierre Fermat's Streit mit John Wallis. 563
Art weder hinsichtlich der Feinheit, noch der Schwierigkeit, noch der Beweisart den berühmtesten Aufgaben der Geometrie nachstehen."
~Für jede gegebene Zahl, die keine Quadratzahl ist, giebt es unendlich
viele Quadratzahlen von der Beschaffenheit, dafs das Produkt einer jeden
in die gegebene Zahl bei Addition der Einheit eine Quadratzahl wird."
"Beispiel. Es sei die Zahl 3, die keine Quadratzahl ist, gegeben.
Wenn man dieselbe mit der Quadratzahl 1 multipliziert und zum Produkte
I addiert, so erhält man 4, eine Quadratzahl. Wird dieselbe Zahl 3 mit
der Quadratzahl 16 multipliziert und zum Produkt 1 addiert, so erhalt
man 49, eine Quadratzahl. Statt 1 und 16 kann man unendlich viele
andere Quadratzahlen finden, welche dasselbe leisten. Ich fordere aber eine
allgemeine Regel, die sich auf jede gegebene Zahl, welche keine Quadratzahl ist, anwenden läast. Es möge z. B. die Quadratzahl bestimmt werden,
deren Produkt in 149 oder in 109 oder in 433 u. s. w., bei Addition von 1
eine Quadratzahl wird."
Der Schreiber DIGBY's, welcher die für BaOUNCKER bestimmte Abschrift
anfertigte, mag die Einleitung der Aufgabe, welche ausdrücklich die Forderung ganzzahliger Lösungen stellt, für unerheblich gehalten und deshalb
weggelassen haben. So erklärt es sich, dafs BROUNCKER und nach ihm
WALLIS meinten, es seien nur rationale Lösungen verlangt, und dafs beide
demgemäfs die Aufgabe auf die von DIOPHANT an sehr vielen Stellen angewandte Art behandelten. Soll nämlich die Gleichung ax2 + 1 = 2 nur
in rationalen Werten gelöst werden, so liefert die Annahme ax2 + 1
2r 4r2
(1 - rx)2 durch eine leichte Entwicklung x 2= -- x2 ==
7 -- a9(ri - a)2'
oder wenn r q, r2- a = d gesetzt wird, x-2 - und das ist die
Lösung, die BROUNCKER nach Paris schickte.
WALLIS hatte, wie er DIGBY schreibt25), am 13. Sept. 1657 nur ganz
allgemein gehört, dafs FERMAT eine dritte Aufgabe gestellt, und dafs
BROUNCKER sie gelöst habe. Er sendet in demselben Briefe eine Aufgabe,
die DIGBY an FERMAT übermitteln möge. Diese Aufgabe ist zwar nicht
zahlentheoretischer Natur, sie möge aber doch hier einen Platz finden; denn
es ist nicht ohne Wert für die Beurteilung des WALLIS zu sehen, was er
einem Gegner wie FERMAT zu bieten wagte. Es soll folgender Satz bewiesen werden:
Ein von zwei parallelen Ebenen begrenzter Pyramidenstumpf habe als
gröfsere Basis das Quadrat über der Strecke A, als kleinere Basis das
Quadrat über der Strecke E, als Höhe die Strecke F. Konstruiert man nun
25) Colmm. ep. VII.
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