Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

510 Paul Tannery:
naires, et sans que les resultats definitifs aient ete notes. Le debut est
un autre exemple analogue; mais il est interessant a etudier, d'autant
qu'avec la recherche illusoire des quatre foyers, c'est le seul endroit ou les
Excerpta procedent reellement par analyse. Partout ailleurs, l'exposition est
syntheti.que.
Dans ce debut, DESCARTES egale arbitrairement a 2 (a - y) la somme
des deux rayons vecteurs; la distance des foyers est 2b; a est l'intervalle
entre leur milieu et le sormet, a partir duquel se compte, sur l'axe, l'abscisse x du point courant. DESCARTES exprime les lignes de la figure en
x et y et commence a chercher la tangente par sa rmethode; puis il s'interrompt brusquement.
J'ai dit que le procede etait analytique; il est clair en effet que la
courbe ne serait determinee que par une equation entre x et y. Si DESCARTES
avait eu une methode inverse de celle de ses tangentes, il fft parvenu a
exprimer la condition que la normale divisat i'axe dans un rapport voulu.
Mais avec les seules ressources dont il disposait, il ne pouvait certainement
pas plus aboutir que si, en coordonnees ordinaires x et y, il eut cherche
la tangente sans se donner l'equation.
Dans la suite, il posera d'emblee, par exemple, a - y, et b + ey,
pour ses deux rayons vecteurs; mais alors y est une variable qui suffit seule
a determiner un point de la courbe; DESCARTES peut donc la lier a I'abscisse x par une relation determinee, appliquer sa methode, et montrer que
la condition proposee est satisfaite.
Mais comment est-il arrive precisement a donner a ses rayons vecteurs
les expressions ci-dessus? Est-ce l'effet d'un heureux hasard? a-t-il ete
guide par quelque remarque dans i'essai precedent?
On ne peut ici former que des conjectures; elles peuvent etre cependant appuyees sur des faits, que je vais exposer apres avoir dit tout d'abord
ce que j'imagine.
Je croirais volontiers que DESCARTES, bien avant de constituer sa
methode analytique des tangentes, avait-directement resolu le probleme qu'il
s'etait pose, de trouver les lignes courbes ramenant par refraction a un
foyer le faisceau de rayons issus d'un autre foyer. Ce qu'il consigne sur
son registre B, ce sont les essais d'une exposition analytique pour une
solution qu'il a obtenue tout autrement.
La position meme du probleme l'a naturellement conduit au systeme
des coordonnees bipolaires, qu'on lui doit beaucoup plus incontestablement
que celui des coordonnees dites cartesiennes; il a reconnu tout aussitot que
l'ellipse et l'hyperbole devaient etre des varietes des courbes qu'il cherchait,