Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

508 Paul Tannery:
tation montre qu'il etait encore loin de la conception des quantites negatives.
Le texte de tout ce fragment, comme aussi celui du dernier, est d'un
latin assez incorrect, qui contraste avec le style chatie des lettres et des
ouvrages de DESCARTES dans cette langue. Ce ne sont donc pas 1a des
redactions definitives, mais de ces premieres ebauches que l'on fait pour
mettre ses idees en ordre avant de les avoir arretees. Ce caractere est
encore beaucoup plus accuse, par le desordre de la composition, dans le
dernier fragment, celui des ovales, auquel nous allons enfin arriver. Quant
aux notes intermediaires, elles ont, bien plus nettement, le caractere de
memento pour des resultats definitivement acquis.
5. On sait que dans sa Geomnetrie, DESCARTES indique, pour quatre
courbes, dont la premiere et la quatrieme sont reellement ovales, dont la
seconde et la troisieme sont plutot cordiformes, des constructions qui peuvent immediatement se traduire, en coordonees bipolaires u, V, par les
equations suivantes ou l'on suppose k < 1:
10 u+ k a + \ kb.
20 u kv a cb Distance des foyers: a b
20 ut kCv a kb
30 ~ kv - a = - k+ b I Distance des foyers: a - b.
40~ + kv a + kb
I1 a applique a la. premiere de ces courbes sa methode des tangentes
(sans d'ailleurs jamais former l'equation du 4e degre en coordonnees
rectilignes), et il en a deduit les proprietes optiques de corps de revolution ayant ces ovales pour meridienne et qui seraient formes de verre.
Dans cette fa9on de poser le probleme au point de vue pratique,
DESCARTES apportait certaines restrictions a la conception generale des
lignes aplanetiques, que l'on peut definir par l'equation lineaire quelconque
entre coordonnees bipolaires. Ces restrictions n'apparaissent nullement
dans les Excerpta: il essaie de fait toutes les combinaisons possibles et les
classe methodiquement. Malheureusement les developpements qu'il donne
a cet egard sont tres succincts et semblent meme tronques.
Dans son celebre Aperu historique (20 ed., p. 162), MICHEL CHASLES,
apres avoir fait observer que l'equation du quatrieme degre en coordonnees
rectilignes correspond a l'ensemble de deux ovales conjtucyees, ajoute que
cette renlarque eut dui, ce semble, etre faite dans la Geomdtrie de DESCARTES. C'est meconnaitre les habitudes du temps; l'on chercherait d'ailleurs
vainement, dans la Geometrie, ]a remarque, encore plus essentielle, que la
meme equation du second degre represente les deux branches dont, a
l'exemple des anciens, DESCARTES nommait toujours l'une et l'autre hyper