Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Les Excerpta ex M.SS. R. Descartes. 507
f. Construction pour la quadrature du cercle (voir CANTOR, Vorlesungen, II, p. 778), remarquable en ce qu'elle donne le principe de la
methode dite des isoperimetres pour le calcul du rapport de la circonference au diametre; et en ce que, d'un autre cote, c'est, je crois, le seul
exemple connu pour proposer d'atteindre une longueur limite par des constructions graphiques qui permettent, en theorie, de pousser l'approximation
indefiniment. - Cette note, qui se relie a la matiere du premier fragment,
en est peut-etre contemporaine; rien n'indique en effet, qu'en 1639 ou 1640,
DESCARTES se soit occupe de questions de ce genre, sauf quelques railleries
a l'adresse de LONGOMONTANUS.
g. Tangentes de la cycloide et de la quadratrice. -- Cette note est
tout simplement une copie de passages de l'ecrit de FERMAT: Doctrinami
tangentium etc. (CEzvres de F., I, p. 158 —167), que DESCARTES reut de
MERSENNE en Octobre 1640. Les extraits sont textuels; cependant DESCARTES
a introduit ses notations et supprimne des calculs intermediaires. I1 a de
plus indique les constructions sur les figures; celle de la quadratrice semble
indiquer que la rectification de l'arc de cercle se ferait au moyen de la
cycloide. II est remarquable que DESCARTES n'a pas reconnu l'erreur que
contient, pour la tangente a la quadratrice, le texte qui lui a ete envoye
et qui est conforme a une surcharge sur l'autographe de FERMAT. (Cf.
(Euvres de F., I, p. 165, note.)
h. Calcul des resultantes de l'elimination des irrationelles pour les
equations
/a + l/b + C === 7d, Y|/a + /b - /c - /c + Ye.
Provoque par un billet de FERMAT de 1648 ((Euvres de F., II, p. 282).
Cf. CLERS. III, 472 et p. 498.
4. Par rapport a toutes ces notes, et ineme par rapport au dernier
fragment, la grande anteriorite du premier resulte de ce fait qu'on n'y
trouve pas encore les notations caracteristiques de DESCARTES. Ce fragment debute par un tableau des valeurs irrationelles des cordes des arcs
derivant des cotes du carre, du triangle equilateral, du decagone et du
pentedecagone regulier. DESCARTES insiste sur les lois de formation de ces
irrationelles. I1 s'etend ensuite longuement sur la relation entre les cotes
d'un triangle, et l'angle oppose a l'un d'eux (comme si elle n'eut pas ete
connue). I1 la met sous une forme qui correspondrait a celle-ci:
a2 = b' + c2 - bc Corde (n - 2 A).
I1 propose de definir la valeur de l'angle par le rapport b+ _d pris
Ö -~ C2 -- Ud2
en valeur absolue, en ajoutant d'ailleurs + 0 (comme indice de l'angle droit),
si b2 + c2 < a2, et si par consequent l'angle est obtus. Cette curieuse no