Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

464 H. Staigmüller:
(1000a + 100 b + 10 c + d)2= 1000000 a2 + 10000 b2 + 100c2 + d
+ 2. oo oooa + 2. 1000( a+b)c+ 2 (100 + 2 1010 + +c)d.
In Betreff dieses Satzes beruft sich SCHEUBEL auf: "arithmetices demonstratae
I, 32," doch erläutert und beweist er denselben auch für einen speziellen
Fall durch eine geometrische Figur. Geht eine Wurzelausziehung nicht
auf, so lehrt SCHEUBEL ein Verfahren, das sich folgendermafsen darstellen läfst. Ist
a2 < a + b< (a + 1)2, so ist l/a2 + b c ) a + 2 +
2 a -+- l
Zur Rechtfertigung dieses Verfahrens führt SCHEUBEL mit Berufung auf
Ademonstratae incerti autoris arithmetices II, 33" den Satz an:
(a2) + (2 a + )= a + 1)2,
durch welchen auch in der That jenes Näherungsverfahren als solches gerechtfertigt ist, und ich kann nicht verstehen, warum TREUTLEIN dies nicht
anerkannt hat87). In ganz analoger Weise behandelt weiterhin SCHEUBEL
das Kubikwurzelausziehen. Der hier zu Grunde gelegte Satz (arithm. dem.
I, 39) lautet
(100 a + 10 b + c)3= 1000000 a3 + 1000b3 + c3
+3 o 10000oab(l + b) + 3 100 ac (10O a + 10b + C)
+ 3 1 Obc (100a+ 1b + c),
und das vorgetragene Näherungsverfahren läfst sich in die Form kleiden:
Ist a3 < a3 + < (a + i)3, so ist
b
a3 + 63a2 + 3a + 1
Begründet wird dieses Näherungsverfahren durch den Satz (arith. dem. II, 34)
a3 + {(a + 1)2 + a2 + (aC + l)a} = (a + 1)3.
Auch diese Begründung ist vollständig durchsichtig.
Im fünften Traktate lehrt SCHEUBEL die Praxis des Ausziehens einer
beliebigen Wurzel und stellt nach einigen einleitenden Bemerkungen ein
Schema der Binomialkoeffizienten bis zum 16. Grade auf, für dessen Bildung er folgende Vorschrift giebt:,Schreibe die natürliche Zahlenreihe vom
2 Zweier ab zweimal so an, dafs beide Reihen
3 3 im Zweier zusammenstofsen und einen Win4 6 4 kel bilden. Addiere nun immer je zwei
5 10 10 5 nebeneinander stehende Zahlen und schreibe
6 15 20 15 6 die Summe unter die addierten Zahlen."
etc. Durch diese Vorschrift erhält man das
86) Das Zeichen,~C" möge bedeuten: ~annähernd gleich".
87) Vergl. TREUTLEIN, das Rechnen im 16. Jahrhundert. A. a. 0. p. 67.