Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

64 Maximilian Curtze:
CAMPANUS im bekannten Scholium zum 32. Satze des ersten Buches von
EUKLID in jedem Vielecke die Summe der Winkel gleich 2 n-4 Rechten
ist, so ist im Fünfeck diese Summe gleich 6 Rechten, also im regelmässigen Fünfeck jeder Winkel 1 Rechte. Zerlegt er nun das Fünfeck
durch Radien vom Mittelpunkte aus in gleichschenklige Dreiecke und zieht
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in einem derselben die Höhe, so ist jeder Basiswinkel - + o= 5- Rechten,
und der von einem Radius und der Höhe gebildete Winkel daher -= 2 Rechten.
Also lässt sich, da das Dreieck rechtwinklig ist, um dasselbe ein Kreis
beschreiben, und es ist folglich der zu, Rechten gehörige Bogen =108~,
und seine Sehne nach der Sehnentafel 97 5; der zu - gehörige Bogen ist
ebenso =- 720 und seine Sehne = 70 33. Ist nun die Seite des Fünfecks =- 6, so ist seine Hälfte gleich 3, und diese entspricht der Sehne
70 33. In demselben Verhältnis entspricht daher der Sehne 97 5, d. i.
der Höhe des Dreiecks, nahezu 4 8. Die Fläche eines der fünf Dreiecke
ist daher 3 X 4 8 -12 * 24, und folglich ist die Fläche des Fünfecks
selbst - 5 X 12 24 = 62.
Ist jedoch das Vieleck nicht regelmässig, so zerlegt man dasselbe
durch Diagonalen in Dreiecke und berechnet jedes nach ~ 11 einzeln. Die
Summe aller ist dann die gesuchte Fläche des Vielecks.
~ 22. Die Fläiche des regelmeissigen Sternfünfecks (Pentagonum.
Salomonis) zu bestimmen. Der Verfasser beschreibt um das Sternfünfeck
den Kreis und halbiert eine Seite des Fünfecks fe in a, er nennt die beiden
Schnittpunkte dieser Seite durch die andern Seiten k, b und zieht ca, c ist
der Mittelpunkt, so wie cb. Dann steht erstens ca senkrecht auf fe und
geht durch den dritten Eckpunkt c des Fünfecks, cb aber halbiert den
Bogen de in r. Nun ist der Bogen de = 72~, folglich dessen Sinus ae
= 57 - 4, wenn ce, der Halbmesser des Kreises, - 60 gesetzt wird; ca
erhält man nun nach dem Pythagoras -= /602 - (57 * 4)2 == 18 32.
Bogen dr ist 360, also auch <C acb = 36~. Für cb = 60 ist also ab,
der Sinus dieses Winkels, = 35 16 und ac, der Sinus des Complementes
von 54~, ist 42 32. Nach dem Verhältnis aber, nach welchem ca = 18. 32
und ce — 57 * 4 war, ist ab = 13 28. Nimmt man jetzt den Radius des
Kreises =7, so erhält man ca = 2 * 10 also ad== 4 * 50, ab= 1 * 34,
immer auf ganze Minuten abgerundet. Die Fläche des Dreiecks Ukbd ist
also 1 34 X 4 * 50 = 7 * 34; alle 5 ähnlichen Dreiecke zusammen sind
daher 5 X 7. 34- 37 - 50. Nun ist die Seite des innern regelmässigen
Fünfecks 7b = 2 ab = 3 * 8, also nach dem vorigen Paragraph seine Fläche
-= 17 (was um eine Kleinigkeit zu klein ist). Die Gesammtfläche des