Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

426 Paul Stäckel:
theorie geführten Beweis, dafs die Winkel eines Dreiecks nicht > 2R sein
können, die Winkel eines sphärischen Dreiecks aber > 212 sein müssen,
dankbar annehmen und zu einer vollständigen Begründung der Parallelentheorie für die Ebene benutzen sollen. Die Frage kann nur die sein, ob
man etwa die Ebene als den Zielpunkt ansehen dürfe, dem sich eine Kugelfläche, wenn ihr Halbmesser wächst, nähert, so dafs die Abweichung kleiner
werden kann, als jede gegebene Abweichung, und ob man, dafs eine solche
unendliche Annäherung stattfindet, ohne Hülfe des lte'l Grundsatzes des
EUCLIDES oder eines aequivalenten Satzes beweisen könnne39).
Dafs eine solche unendliche Annäherung wirklich statt findet, wird wol
niemand im Ernst bezweifeln; schon die gemeine Betrachtung, wonach man
ein Stück der Erdoberfläche, das man mit einemmale übersehen kann, für
eben zu halten geneigt ist, leitet darauf. Aber ich leugne, dafs sich ein
strenger, kunstmäfsiger Beweis ohne schon begründete Parallelentheorie geben
lasse. Denn solcher Beweis lmüfste etwa auf folgende Punkte hinauslaufen.
Es sei aus dem Puncte C der unbegrenzten Linie AB Fig. 40 ein
nach D unbegrenztes Perpendikel CD errichtet. Man schneide nun von
CD ein beliebiges Stück CE' ab, beschreibe aus E durch C einen Kreis, und
lasse nun die ganze Zeichnung sich um
/JF> /;~,die feststehende Linie CD drehen, so ist
klar, dafs die Kreisperipherie eine Kugelfläche, die Linie AB aber eine die KugelC ____ fläche berührende Ebene beschreiben werde.
Schneidet man von CD ein gröfseres
Stück ab, so erhält man eine Kugelfläche,
welche der berührenden Ebene näher
-~~B G\~ ~kommt. Wollten wir nun beweisen, dafs
Fig. 40. die Kugelfläche sich der Ebene so sehr
nähern kann, dafs die Abweichung kleiner wird, als jede gegebene Abweichung, so müfsten wir auch beweisen können, dafs der Kreis sich auf
dieselbe Art der geraden Linie AB nähern könne, oder, mit andern Worten,
dafs die Entfernung eines Punctes der Peripherie von der geraden
Linie AB, in jeder gegebenen Höhe über CD, kleiner werden könne
als jede gegebene Gröfse. Aber so lange die Parallelentheorie nicht
begründet ist, bleibt es zweifelhaft, ob nicht eine Curve FCG statt
finde, welche auf derselben Seite der Linie AB liegt, als der Kreis, und
welche AB in C berührt, und welcher sich der Kreis, wenn sein Halb39) Mit genau denselben Gedanken hatte sich schon LAGRANGE beschäftigt
und ebenfalls dessen Undurchführbarkeit erkannt; siehe P. Th. S. 211-212.