Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Franz Adolph Taurinus. 421
innere und eine äufsere Wahrheit. Jene beschränkt sich darauf, dafs die
Geometrie ein in sich selbst beschlossenes, durchaus consequentes System
ohne logischen Widerspruch bildet, ohne Frage noch von ihrer Anwendbarkeit auf die Erscheinungen der Aufsenwelt. Diess ist der Standpunkt, von
welchem der Mathematiker seine Wissenschaft zu betrachten pflegt: er
nennt sie eine reine, von aller Erfahrung unabhängige, auch nicht nothwendig auf sie hinweisende Wissenschaft und diese Eigenthümlichkeit wird
häufig als ein besonderer Vorzug hervorgehoben. Soll aber die Geometrie
nicht blofs ein müfsiges Erzeugnifs der productiven Einbildungskraft, sondern auch von praktischer Bedeutung sein, so fragt es sich, ob der Geometrie auch äussere Wahrheit zukomme, eine Untersuchung, die nicht mehr
rein mathematisch ist. Dieser Übergang von dem reinen Erkennen zur
Objectivität, von der Construction der productiven Einbildungskraft zur
Bestimmung äufserer Verhältnisse hat von jeher grofse Schwierigkeiten und
Zweifel verursacht.
Aber auch abgesehen von dieser eigenthümlichen Schwierigkeit ist die
Geometrie noch nicht in der reinen Entwicklung dargestellt, deren sie
fähig ist.
Die Geometrie gründet sich überhaupt auf das Gesetz der Coincidenz,
welches aber selbst kein Axiom genannt werden kann, und überhaupt hat
die Geometrie gar keine Axiome nöthig, diese müssen gänzlich aus ihr
verbannt werden. Dieser Grundsatz der Coincidenz besteht darin, dafs die
Geometrie die einfachsten Elemente des Raumes, nemlich die Linien, als
gleichartig voraussetzt, so, daCs in den Linien eines und desselben Systemes
nichts zu unterscheiden ist, als ihre Gröfse. Die Coincidenz ist nicht zu
verwechseln mit der Congruenz, welche nicht nur ein Zusammenfallen, sondern auch gleiche Gränzen oder Gleichheit fordert.
Bogen eines und desselben Kreises sind also gleichartig, Kreisbogen
und gerade Linien sind ungleichartig, Kreisbogen mit verschiedenen Halbmessern beschrieben, sind nur ähnlicher Art.
Die Analysis, die eine reine Entwicklung der Geometrie möglich
macht, leitet aus dieser Bedingung der Coincidenz, ohne welche gar keine
allgemeinen Sätze erhalten werden könnten, ein dreifaches System der Geometrie her und erweist die Winkelsumme eines Dreiecks als nothwendige
Folge von der dreifachen Art der Linien.
Dagegen klebt der Elementar-Geometrie nach der Methode des Euklid
die Unvollkommenheit an, dafs sie nur die geradlinige Geometrie betrachten
will, es aber nicht vermeiden kann, da sie an der Anschauung haftet und
nicht den rein analytischen Begriff der Linien festhält, alle drei Systeme
zugleich bis zu dem Punkte zu betrachten, wo ihr wesentlicher Unterschied