Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Franz Adolph Taurinus. 413
für Lehrsatz 51, bei dem mit Nachdruck die Voraussetzung hervorgehoben
wird, dafs "es verstattet ist die gerade Linie ins unendliche verlängert
vorzustellen", als gelungen bezeichnet werden kann, ist der Beweis für
den folgenden Lehrsatz 52: "Unter den beiden übrigen geometrischen
Systemen ist das Parallelsystem, in welchem ein Viereck vier Rechte
enthalten kann, allein geradlinig" durchaus unzulänglich. TAURINUS scheint
das selbst gefühlt zu haben, da er in den den,Elementen" angehängten
Erläuterungen (S. 73-88) gegen die Hypothese des spitzen Winkels acht
weitere Gründe anführt (S. 86-87, P. Th. S. 258-259). Bemerkenswert
ist, dafs er dabei, wohl durch GAuss' Brief beeinflufst, die "innere Consequenz des dritten Systems" ausdrücklich anerkennt, und zum Schlufs (S. 88)
als seine Überzeugung ausspricht,,dafs es ein solches System allerdings
gebe; dafs wir aber zweifeln, ob es eine geradlinige oder eine ebene
Geometrie sein werde".
Den Schlufs des Werkchens bildet eine Nachschrift (S. 88-93, vergl.
auch P. Th. S. 259-261), in der sich TAURINUS über LEGENDRE'S Untersuchungen äufsert, die ihm erst während des Druckes durch die Vermittelung
von Professor v. MÜNCHOW in Bonn (1778-1836) bekannt geworden waren.
Später, jedenfalls erst nach dem 20. März 1825, hat TAURINUS seiner
Schrift einen Nachtrag hinzugefügt (S. 95-102, P. Th. S. 261-266),
der für die Vorgeschichte der nichteuklidischen Geometrie von besonderer
Wichtigkeit ist. Augenscheinlich hatten ihn die Gründe, die er gegen das
dritte System ins Feld geführt hatte und die in Wahrheit, um mit LAMBERT
zu reden, nur "argumenta ab amore et invidia ducta" waren18), auf die
Dauer nicht befriedigt, und so war er dazu geführt worden, dieses System
weiter zu entwickeln, in der Hoffnung, dadurch einen strengen Beweis für
seinen Lehrsatz 52 zu gewinnen. Auf diese Weise ist er, wie vor ihm
SACCHERm, zu dem Begriffe der Grenzgeraden und zu dem Beweise der
Existenz eines gemeinsamen Lotes sich nicht schneidender Geraden gelangt19)
und hat, wie vor ihm LAMBERT, nachgewiesen, dafs dem dritten System eine
~Bestimmungsgröfse" ("Parameter, Axe, Potenz") eigen ist, die man willkürlich annehmen kann20). Indem er auf diese unvermeidliche Folge der
Annahme einer von zwei Rechten verschiedenen Winkelsumme des Dreiecks
hinwies, glaubte TAURINUS dem Euklidischen Systeme die Alleinherrschaft
gesichert zu haben, denn "es läfst sich" meinte er, "gar kein Grund ein18) Theorie der Parallellinien ~ 81, P. Th. S. 201.
19) Euclides ab omni naevo vindicatus. S. 43-45 und 68-70, P. Th. S. 87 —89
und 107-109.
20) Theorie der Parallellinien ~ 79 und 80, P. Th. S. 199-201.