Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Franz Adolph Taurinus. 409
Elemente hergeleitet werden, dafs er die wesentliche Identität des elften
Axioms mit dem Satze, dafs die Summe der Dreieckswinkel 2 Rechte betrage, erkannt und den Beweis für diesen Satz auf apagogischem Wege
durchzuführen versucht hatte, dafs er von den beiden Möglichkeiten, die
alsdann zu betrachten sind, nur die eine, bei der die Winkelsumme gröfser
als 2 Rechte vorausgesetzt wird, genauer untersucht hatte und dafs es ihm
gelungen war ihre Unvereinbarkeit mit den Voraussetzungen des Euklidischen Systems zu zeigen, dafs er jedoch auf diesem Wege bei weitem
nicht so tief wie SACCHERI und LAMBERT vorgedrungen war, welche schon
1733 und 1766 die,Hypothese des stumpfen Winkels" eingehend untersucht hatten, von deren Untersuchungen jedoch TAURINUS damals noch keine
Kenntnis besafs.
Demgegenüber hatte sich GAUss zu derselben Zeit nicht nur nach
langen Kämpfen, bei denen die Frage, ob man die Existenz einer an sich
bestimmten Lineargröfse annehmen dürfe, eine wesentliche Rolle gespielt
hat9) zu der Überzeugung von der logischen Unanfechtbarkeit einer "nichteuklidischen" Geometrie durchgerungen, in der die Summe der Winkel
des Dreiecks kleiner als 2 Rechte ist, sondern auch diese neue Geometrie
~für sich selbst ganz befriedigend ausgebildet"~0). Die Worte: "Ich habe
daher wohl zuweilen im Scherz den Wunsch geäufsert, dafs die Euklidische
Geometrie nicht die Wahre wäre, weil wir dann ein absolutes Mafs a priori
hätten", die sich übrigens dem Sinne nach genau mit einer Äufserung
LAMBERT'S decken1), stehen damit nicht in Widerspruch; der,Scherz" bezieht sich augenscheinlich nicht auf die nichteuklidische Geometrie, sondern
allein auf die praktischen Folgen, die die Existenz eines absoluten Mafses
haben würde.
Endlich wird durch die beiden Briefe die für die Vorgeschichte der
nichteuklidischen Geometrie bedeutungsvolle Thatsache festgestellt, dafs GAuss
und TAURINUS erst im Jahre 1824 in Beziehungen zu einander getreten
sind, und da GAUSS keine weiteren Briefe an TAURINUS geschrieben hat,
wird zugleich der Einflufs, den jener auf diesen gehabt haben kann, genau
festgelegt. Damit ist, worauf noch zurückzukommen sein wird, für TAURINUS
die selbständige Entdeckung der nichteuklidischen Trigonometrie
gesichert, die freilich GAusS spätestens seit 1819 besessen haben mufs.
9) Weitere Aufschlüsse hierüber wird Bd. VIII der GAuss'schen Werke geben.
10) Eine ähnliche Äufserung findet sich auch in dem Briefe an GERLING vom
16. März 1819. P. Th. S. 246. Siehe auch die Abhandlung von FRIEDRICH ENGEL
und mir: GAUss, die beiden Bolyai und die nichteuklidische Geometrie,
Mathematische Annalen, Bd. 49. S. 150-151, 1897.
11) LAMBERT'S Parallelentheorie ~ 80, P. Th. S. 200.