Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

408 Paul Stäckel:
Aufgabe in derselben auflösen kann mit Ausnahme der Bestimmung einer
Constante, die sich a priori nicht ausmitteln lässt. Je gröfser man diese
Constante annimmt, desto mehr nähert man sich der Euclidischen Geometrie und ein unendlich grosser Werth macht beide zusammenfallen. Die
Sätze jener Geometrie scheinen zum Theil paradox, und dem Ungeübten
ungereimt; bei genauerer ruhiger Überlegung findet man aber, dafs sie an
sich durchaus nichts unmögliches enthalten. So z. B. können die drei
Winkel eines Dreiecks so klein werden als man nur will, wenn man nur
die Seiten grofs genug nehmen darf, dennoch kann der Flächeninhalt eines
Dreiecks, wie grofs auch die Seiten genommen werden, nie eine bestimmte
Grenze überschreiten, ja sie nicht einmahl erreichen. Alle meine Bemühungen einen Widerspruch, eine Inconsequenz in dieser Nicht-Euclidischen
Geometrie zu finden sind fruchtlos gewesen, und das Einzige was unserm
Verstande darin widersteht, ist dafs es, wäre sie wahr, im Raume eine an
sich bestimmte (wiewohl uns unbekannte) Lineargrösse geben müsste.
Aber mir deucht, wir wissen, trotz der Nichts Sagenden Wort-Weisheit der
Metaphysiker eigentlich zu wenig oder gar nichts über das wahre Wesen
des Raumes, als dafs wir etwas uns unnatürlich vorkommendes mit Absolut Unmöglich verwechseln dürfen. Wäre die Nicht-Euclidische Geometrie die wahre, und jene Constante in einigem Verhältnisse zu solchen
Grössen die im Bereich unsrer Messungen auf der Erde oder am Himmel
liegen, so liesse sie sich a posteriori ausmitteln. Ich habe daher wohl
zuweilen im Scherz den Wunsch geäufsert, dafs die Euclidische Geometrie
nicht die Wahre wäre, weil wir dann ein absolutes Maass a priori haben
würden.
Von einem Manne, der sich mir als einen denkenden Mathematischen
Kopf gezeigt hat, fürchte ich nicht, dafs er das Vorstehende misverstehen
werde: auf jeden Fall aber haben Sie es nur als eine Privat-Mittheilung
anzusehen, von der auf keine Weise ein öffentlicher oder zur Öffentlichkeit führenkönnender Gebrauch zu machen ist. Vielleicht werde ich, wenn
ich einmahl mehr Musse gewinne, als in meinen gegenwärtigen Verhältnissen, selbst in Zukunft meine Untersuchungen bekannt machen.
Mit Hochachtung verharre ich
Ewr. Wohlgeboren
Göttingen den 8 November ergebenster Diener
1824. C. F. GAUSS.
Aus diesen Briefen ergiebt sich zunächst, dafs TAURINUS im October
1824 noch durchaus der Überzeugung war, das elfte Axiom könne und
müsse bewiesen, d. h. aus den übrigen Voraussetzungen der Euklidischen