Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Franz Adolph Taurinus. 407
sammen nie mehr als 2 Rechte ausmachen können. Denn diefs sey der
Fall in ABC: fälle AD. Es seyen auch in ADC mehr als 2 B: construire das ähnliche Dreieck ACE, dafs
AE -- D C: es ist also EAD = D CE, > R. A
Errichte das Loth AF und CF, so wäre F
AFC>R, welches nach dem obigen unmöglich. Pig. 3.
Nun lässt sich, wie ich glaube, auch der Beweis führen, dass die
Winkel eines Dreiecks nicht kleiner sein können, als 2 B, sondern = 2 R:
daraus ergiebt sich dann weiter, dafs wenn 2 Linien mit einer dritten sie
schneidenden nach einer Seite hin weniger als 2 BR machen, sie sich nothwendig schneiden müssen."
Um auf diese Auseinandersetzungen genauer einzugehen, scheint es
zweckmäfsig, zunächst GAuss' Antwort mitzuteilen, die ich bereits 1895
(P. Th. S. 249-250) veröffentlicht habe. GAUSS schreibt am 8. November
1824:
Ewr. Wohlgeboren
gefälliges Schreiben vom 30 Oct. nebst dem beigefügten kleinen Aufsatz
habe ich nicht ohne Vergnügen gelesen, um so mehr, da ich sonst gewohnt bin, bei der Mehrzahl der Personen, die neue Versuche über die
sogenannte Theorie der Parallellinien [machen,] gar keine Spur von wahrem geometrischen Geiste anzutreffen.
Gegen Ihren Versuch habe ich nichts (oder nicht viel) anderes zu erinnern als dass er unvollständig ist. Zwar lässt Ihre Darstellung des Beweises, dass die Summe der drei Winkel eines ebnen Dreiecks nicht gröfser
als 1800 seyn kann in Rücksicht auf geometrische Schärfe noch zu desideriren übrig. Allein dies würde sich ergänzen lassen, und es leidet keinen
Zweifel dafs jene Unmöglichkeit sich auf das allerstrengste beweisen läfst.
Ganz anders verhält es sich aber mit dem 2'. Theil, dafs die Summe der
Winkel nicht kleiner als 1800 seyn kann; dies ist der eigentliche Knoten,
die Klippe woran alles scheitert. Ich vermuthe, dass Sie sich noch nicht
lange mit dem Gegenstande beschäftigt haben. Bei mir ist es über 30 Jahr,
und ich glaube nicht, dafs jemand sich eben mit diesem 2". Theil mehr
beschäftigt haben könne als ich, obgleich ich niemals etwas darüber bekannt gemacht habe. Die Annahme, dafs die Summe der 3 Winkel kleiner
sei als 1800, führt auf eine eigne von der unsrigen (Euclidischen) ganz
verschiedene Geometrie, die in sich selbst durchaus consequent ist, und
die ich für mich selbst ganz befriedigend ausgebildet habe, so dass ich jede