Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

406 Paul Stäckel:
Oder es sey Im > ik, z. B. rm = ik. Ziehe ir, gr. Es lässt sich
beweisen, dass grm > grh, weil gh > rm. Es ist rik = irm > grm
> rglt: ferner ril > rgl, folglich kil > hgl > R, wider die Voraussetzung,
dass gik > R.
Ein ähnlicher Beweis lässt sich für alle Lothe führen, nicht nur
wenn hki =- gh = 7km..., sondern ganz allgemein für alle Lothe: sie werden desto kleiner, je mehr sie sich von ef entfernen.
2.) Nun sey also im < ik. Fälle die Lothe lc, iß, so ist if3 < la:
denn wenn dieses Verhältniss bei den Linien ab, cd, die von der ef
e
C, ----- --
h' c7,
Fig. 2.
rechtwinklicht geschnitten werden, stattfindet, so muss das nemliche auch
von den Linien ki, ml gelten, die bei k und m auf der cd rechtwinklicht
stehen, zumal wenn km = gh: denn ausserdem wäre keine Geometrie möglich. Ist aber iß < la, so ist auch ilg < lia, und da il3 = — mIn, so
folgt daraus, dafs die Winkel lik, nim u. s. w. desto kleiner werden, je
weiter die Lothe von ef sich entfernen.
3.) Sehr leicht folgt daraus, dafs, wenn die Lothe ica, ny u. s. w. gefällt werden, ly > ia u. s. w., dagegen ka > Im, ym > no (da ny > la
u. s. w.) - woraus sich denn auch mit Nothwendigkeit auf ein Schneiden
der Linien ab, cd schliefsen lässt, sobald sie nur gehörig verlängert werden, es mag auch ina anfangs noch so unendlich klein sein.
Es lässt sich dagegen auf mehr als eine Art der Beweis führen, dass
zwei Linien, die auf einer dritten senkrecht stehen, sich unmöglich schneiden können. Daher ist es denn auch eine unrichtige Voraussetzung, dass
wenn zwei Linien von einer dritten unter rechten Winkeln geschnitten
werden, und von der einen auf die andre ein Loth gefällt wird, dieses
nach der schneidenden Linie zu einen stumpfen Winkel bilde.
Hieraus ergiebt sich der Satz, dafs die Winkel eines Dreiecks zu