Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

394 Ferdinand Rudio:
die homogenen Koordinaten ul, u2, % festgelegte Gerade dar, wobei die
drei Punktkoordinaten durch die Gleichung
v1 S23 + v2 s1 + v3 12 = 2 J
mit einander verbunden sind. -
UNVERZAGT wendet sich sodann zu dem Zusammenhange, der zwischen
seinen und den PLÜcKER'schen Koordinaten besteht. In beiden Koordinatensystemen benutzt man zur Festlegung einer Geraden drei von den Fundamentalpunkten an sie gezogene Strecken. Während diese aber hier parallel
einer bestimmten, unveränderlichen Richtung gehen, stehen sie bei PLÜCKER
senkrecht auf den festzulegenden Geraden, verändern also ihre Richtung
von Gerade zu Gerade. Setzt man dasselbe Fundamentaldreieck voraus, so
erhält man die PLücKER'schen Strecken, indem man 1, u2, u3 mit dem
(veränderlichen) Kosinus des Winkels multipliziert, den jene Lote in jeder
Lage der Geraden mit der festen Richtung der durch die drei Fundamentalpunkte gehenden Achsen bilden. "Diese Operation ist so einfach, dafs es
auf den ersten Blick unnötig scheinen mag, neue Koordinaten statt der
von jenem berühmten Mathematiker eingeführten zu benutzen. Allein die
von uns angewandten Koordinaten bieten doch einige wesentliche Vorteile.
Zuerst ist es ein Vorzug, dafs sich, bei nur zwei Koordinaten zur Festlegung
der Geraden, die Gleichung des Punktes in sehr einfacher, ja bei der von
uns adoptierten Bezeichnung mehrfach in identischer Form mit der Gleichung
der Geraden in kartesischen Koordinaten ergiebt, während der Versuch, eine
Gleichung des Punktes zu bekommen, bei Annahme nur zweier Fundamentalpunkte und der von ihnen auf die Gerade gefällten Lote als Koordinaten
der Geraden auf komplizierte Ausdrücke höheren Grades führt. Ähnliches
gilt für Kurven zweiter und höherer Klasse." Als einen weiteren nicht
unwesentlichen Vorzug seiner Koordinaten der geraden Linie hebt UNVERZAGT
sodann mit Recht hervor, dafs diese durch eine Gleichung ersten Grades,
nämlich durch die einfache Gleichung
ulh 723 + J 2 uh31 + t3 7t12 = 2J
mit einander verbunden sind, während bekanntlich der Zusammenhang der
PLücKER'schen Koordinaten 1 X2, 3 durch eine Gleichung zweiten Grades
ausgedrückt wird, die mit Benutzung der früheren Bezeichnung lautet:
S l- d l>rd +C 3-)3)02- l)+3-l ) - +) 4J2.
23 1 2)( 1D3)S 3t(2 - ) 1 I 12\)3 4J 2
"Schliefslich darf wohl auch die Leichtigkeit der Ableitung unserer
Formeln für ihre Angemessenheit bei geometrischen Untersuchungen sprechen.. und wir fügen nur zu, dafs die Übertragung unserer Betrachtung von
Punkten in der Ebene auf Ebenen im Raume, unter Zuziehung von vier