Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

392 Ferdinand Rudio:
x sin l = xl sin t -1- + sin &1
y sin g, t] = x, sin t t) + yi sin 1, p.
In einer Programmabhandlung, die nur den allgemeinen Grundlagen
gewidmet ist, findet sich natürlich kein Raum für eine ausführlichere Behandlung höherer Gebilde. UNVERZAGT beschränkt sich daher auf einige
wenige Andeutungen.
Die Gleichung
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F= 0
stellt eine Kurve zweiter Klasse dar und zwar eine Ellipse, eine Parabel
oder eine Hyperbel, je nachdem man von dem Punkte
(2A + B) x + (B + 2 C) y + D + E = 0
keine, eine, oder zwei Tangenten ziehen kann. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt der Kurve. Er liegt bei der Parabel im Unendlichen, woraus sich
für diese das besondere Kennzeichen A + B + C= 0 ergiebt.
Für die Gleichung des Poles der Geraden (x1 yl) in Bezug auf die
Kurve zweiter Klasse findet man:
(2A x, + By, + D)x + (Bx, + 2(Cy + E)y+Dx + Ey1 + 2F= 0.
Ist (xl, y]) eine Tangente, so ist diese Gleichung die Gleichung des Berührungspunktes.
Mit Benutzung der früher eingeführten Polarkoordinaten erhält man
die Polargleichung der Kurve zweiter Klasse:
(A sec2 m + B sec m. cosec m + C cosec2 m) u2
+ (D sec m + E cosec m) u + F = 0,
die nun fast buchstäblich dieselben Betrachtungen zuläfst wie die gewöhnliche Polargleichung.
Mit Hülfe der oben erwähnten Transformationsformeln kann man auch
leicht Kegelschnittsgleichungen in besonders einfacher Form gewinnen, z. B.
x2 y 2 2 2
a2 b2 1, a2, y- a
von denen die erste eine Ellipse, die zweite eine Hyperbel und die dritte
eine Parabel darstellt, während sich bei anderer Wahl der Achsen (man
lege die Koordinatenanfänge in die Enden eines Durchmessers und lasse
die Achsen dem konjugierten parallel gehen, d. h. mit den Tangenten zusammenfallen), für die Ellipse und die Hyperbel die Gleichung ergeben:
xy - +- k,
in denen sich eine bekannte Eigenschaft dieser Kurven in einfachster Form
ausgedrückt findet.