Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

390 Ferdinand Rudio:
wenn p den (parallel zu den Achsen gemessenen) Abstand des Punktes m
von der Mittellinie bedeutet. Diese Gleichung ist in der Form identisch
mit der bekannten HEssE'schen Normalgleichung der Geraden. Sie wird
daher die Normalgleichung des Punktes genannt. Die allgemeine Gleichung
ersten Grades Ax + By = C wird in die Normalgleichung verwandelt, indem man sie mit A + B dividiert. Ist A + B = 0, so liegt der Punkt
Ax -f- By = C im Unendlichen.
Schreibt man die Normalgleichung in der Form
x cos m + y sin m p- 2p 0,
so stellt, ähnlich wie bei der HEssE'schen Normalgleichung, die linke Seite
für sich den (parallel zu den Achsen gerechneten) Abstand des Punktes m
von der Geraden (x, y) dar. Dadurch tritt die Bedeutung der Gleichung
des Punktes scharf hervor.
Aber auch sonst bestehen, der Natur der Sache nach, zahlreiche Analogien zwischen den Gleichungen des Punktes und denen der Geraden,
Analogien, deren gemeinsame Quelle zumeist der Umstand ist, dafs man es
in beiden Fällen mit linearen Gleichungen zwischen zwei Veränderlichen zu
thun hat.
So stelltx~ + ~= 1y d
So stellt- - -= 1 die Gleichung eines Punktes dar, der, mit den
Fundamentalpunkten verbunden, die Achsenabschnitte a und b liefert; so ist
Y-L Y- Y —Y die Gleichung des Schnittpunktes der Geraden (xl, Y1),
X -1 X 2 X1
(x, y2) etc.
Teilt ein Punkt nit den Abstand der Punkte mn und m2, deren Normalgleichungen kurz mit u1 - 0 und u2 = 0 bezeichnet werden mögen, im
Verhältnis k: k2, so erhält man als seine Gleichung k2u1 + k11o =- 0. Es
ist also beispielsweise i +- u2 = 0 die Gleichung des Halbierungspunktes,
Z - u2 = 0 die Gleichung des unendlich fernen Punktes von nm,1 m2 und
es ergiebt sich ferner als Bedingung dafür, dafs drei Punkte u -- 0, u2 = 0,
u3 = 0 in einer Geraden liegen, die Existenz dreier Multiplikatoren A1,
A2, A3, für die identisch Alu -+- A2ze2 + A3u3. = 0 ist. Liegen die drei
Punkte nicht in einer Geraden, so ist beispielsweise u1 -+ u2 + u3 = 0 die
Gleichung des Schwerpunktes des von ihnen gebildeten Dreiecks etc.
Unter der Annahme, dafs die Achsen senkrecht zur Mittellinie stehen,
kann man auch den Flächeninhalt eines Dreiecks durch eine einfache Formel aus den Gleichungen seiner Eckpunkte bestimmen. Sind diese von der
Form Ax + By = C, so findet man leicht:
A~, B2, C,
(A1 + B1)(2 + B2)(, + ) Bs) 3
A3, B3,0 3