Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

386 Ferdinand Rudio:
In neuerer Zeit ist wiederholt und mit Erfolg, namentlich in der angewandten Mathematik, von einem eigentümlichen Koordinatensysteme Gebrauch gemacht worden, das die gerade Linie in analoger Weise zu zwei
Fundamentalpunkten in Beziehung bringt wie das kartesische System den
Punkt zu zwei Fundamentalgeraden. Unter den hier in Betracht kommenden
Arbeiten sind namentlich die des Herrn M. D'OCAGNE zu nennen. Es genügt
an dieser Stelle, auf die Abhandlung des Herrn MEHMKE ZU verweisen:
~Beispiele graphischer Tafeln mit Bemerkungen über die Methode der fluchtrechten Punkte" (Ztschr. f. Math. u. Phys., Jahrg. 46). In dieser, die Litteratur sehr eingehend berücksichtigenden Abhandlung findet sich die Bemerkung, dafs das in Rede stehende Koordinatensystem schon zehn Jahre
vor M. D'OCAGNE von Herrn K. SCHWERING (im Jahresberichte für 1874 des
Westfälischen Provinzialvereins) eingeführt worden sei. Es ist aber thatsächlich älteren Ursprungs und systematisch schon von UNVERZAGT behandelt
worden in der dem ~Jahresbericht über das Kgl. Realgymnasium zu Wiesbaden
von Ostern 1870 bis Ostern 1871" vorausgehenden Programmschrift: "Über ein
einfaches Koordinatensystem der Geraden". Obwohl diese Abhandlung zum Teil
in desselben Verfassers "Theorie der goniometrischen und der longimetrischen
Quaternionen" (Wiesbaden, 1876) verarbeitet und auch von der Kritik nicht
übersehen worden ist, scheint sie doch ganz in Vergessenheit geraten zu
sein. Bei dem Interesse, das dem Gegenstande neuerdings entgegengebracht
wird, dürfte es sich daher rechtfertigen, die Arbeit UNVERZAGT'S wieder an
das Tageslicht zu ziehen. Ich werde mich aber bei ihrer Wiedergabe im
wesentlichen auf Definitionen und Resultate beschränken.
Das Koordinatensystem, um dessen Verwertung es sich hier handelt,
war von UNVERZAGT in erster Linie zur Belebung seines Unterrichtes in
der analytischen Geometrie ersonnen worden, wie er es überhaupt liebte,
sich aufserhalb der ausgetretenen Geleise zu bewegen und seinen Schülern
neue Wege zu zeigen. Das Prinzip der Dualität bot ihm Anlafs, für die
gerade Linie, als Element, ein dem gewöhnlichen Koordinatensysteme dual
gegenüberstehendes einzuführen. So verwandelten sich von selbst die beiden
Koordinatenachsen mit ihrem Schnittpunkte in zwei Fundumentalpunkte mit
ihrer Verbindungslinie. Den Winkeln des alten Systemes standen Strecken
in dem neuen gegenüber. An die Stelle der Winkelfunktionen mufsten
daher Streckenfunktionen, oder, wie sie UNVERZAGT nannte, longimetrische
Funktionen treten. Diese werden folgendermafsen definiert. Teilt man eine
Strecke ab, nach Festsetzung einer Längeneinheit (am einfachsten ab selbst)
und einer positiven Richtung, innerlich oder äufserlich durch einen
Punkt c, so lassen sich aus den Strecken ac, cb, ab, die mit einander