Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

344 Alfred Nagl:
nimmt. Aber die griechische Schriftrechnung mufste sich da mit einer
viel umständlicheren Vorstellung geholfen haben, insofern sie nicht immer
auf die Stellenregel des ARCHIMEDES zurückging. Diese für die Schriftrechnung aufgestellte Regel ist aber ein Beweis, dafs ihre Methode dem
Abakus entstammt, denn sie beruht durchaus auf der Zählung
von dekadischen Stellen oder Kolumnen. Aber auch ihr Ausgangspunkt, die vorhergehende Feststellung der Faktoren-Einheiten ohne Rücksicht auf deren dekadische Stellung, für welche Einheiten die Griechen
sogar einen technischen Ausdruck, nvva E vEg, haben9), ist mit der Technik
ihrer Schriftrechnung nur unvollkommen vereinbar.
Die Stellenregel des ARCHIMEDES findet sich in einer bekannten
Stelle seiner Sandrechnung (gtcvra lg). Nachdem er gezeigt hat, wie durch
die systematisch aufsteigenden Zahlenausdrücke selbst die gröfsten Mengen
(der Sand der Erdoberfläche) zum Ausdruck gebracht werden können, fährt
er fort: "Dienlich ist aber auch das zu wissen: wenn von Zahlen, welche
zu der Monade (Einerstelle) in einer gewissen Proportion (vca;lo7ya) stehen,
etwelche von ihnen unter sich multipliziert werden sollen, die in derselben
Proportion stehen, so wird auch das Produkt in der nämlichen Proportion
(zu ihnen) stehen, indem es von dem gröfseren der beiden Multiplikatoren
soweit absteht, als der kleinere derselben von der Monade in seiner Proportion absteht; von der Monade aber wird es um eine Stelle weniger weit
abstehen, als die (Abstands-)Zahl beider Faktoren von der Monade zusammen beträgt." 0) Verständlich ist also diese Doppelregel kaum ohne
die Hülfsmittel der Stellenarithmetik, und es läfst sich nicht verkennen, dafs
der griechische Schriftrechner mit der ganzen Fassung dieser Regel auf die
Vorstellung des Abakus zurückverwiesen war. 1) Sie ergiebt nach ihren
9) Er findet sich in dieser Bedeutung bei PAPPOS, fragm. lib. II, Satz 27.
10) Text nach der Ausgabe von HEIBERG 2, 270: XQrjctpLov de ~avt zxa rO'E
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ovs &eXovvtl i76 iovdöos o xo lacicCatadviss a&adAovs. Über avcrAoyiTc, proportio im rein mathematischen Sinne, vergleiche die klassische Stelle bei PLATO,
Timaeus 7. CICERO, Timaeus 4. 5.
11) Die Unmöglichkeit, die Stellenbestimmung nach dieser Regel auch mit
den graphischen Hülfsmitteln der griechischen Schriftrechnung zu bewerkstelligen,
soll damit nicht behauptet sein. Man konnte die &vacloyiae und die "Abstände"
des ARCHIMEDES immerhin auch auf den dekadisch angeordneten Reihen der
alphabetischen Zahlzeichen nach unserer oben gegebenen Darstellung bestimmen.