Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

II ~Giornale de' Letterati d'Italia~ di Venezia e la ~Raccolta Calogera~. 267
e divisibile per x - u.> Per consequenza, se u e radice dell' equazione
x4 =p x2 qx - r,
4 (u~f~~$)x +gx2h r+hx+
__ ( -- -- - -_3 X, + 9 + /I +
sara un equazione avente una radice comune con quella. Similmente si
potra trasformare ogni equazione priva di un qualunque suo termine, in
altra completa. I1 FAGNANO riconosce che contro questo pro cedimento si
puo far valere 1' ignoranza delle formole di risoluzione delle equazioni di
grado > 4, ma replica notando che la loro conoscenza, nel caso attuale,
si puo concedere, come nell' alta geometria si ammette 1' effet tuabilita di
qualsia quadratura. Da ultimo egli mostra che f(x) - f(u) e sempre
divisibile per x - u mentre f(x) - f( - u) lo e per x -- u.
Formole per la moltiplicazione degli archi. Ritorniamo sulla memoria
n. 10 per osservare come, nel passare dall' equazione antecedentemente
segnata (8) alla (9) s' incontri la seguente:
(10) ca-1 (y + ~ _c)5 = x + 1-2+ 2
Ora differenziandola e dividendo 1' equazione risultante per la primitiva si ottiene
dy dx
— a _
/y2 2- c2 x/2 - c2
Similmente
dy dx
Vy2 + c2 VI2x + c2
Facendo qui c 1, y =z i- 1, = -u /- 1 essa diviene
dz du
_ 2 _ aiU2
mentre le (8) e (9) assumono il seguente aspetto:
2z/- 1 = (- 1i + yi- 2)a- (j1/- 1 - -) 2)
(11) 1i
z2 -=~ = ( I~~ + 1/ - 2)a+ ( 1/- 1 - 1i - z2)
D' altronde 1' equazione precedente integrata da
arc sen --- a arc sen u
o anche
arc corda z = a arc corda u;
e poiche dalle (11), fatti i calcoli, scompare ogni traccia d' immaginario,
cosi esse porgono la soluzione del problema della moltiplicazione degli archi.
11 FAGNANO le ha variamente trasformate, ottenendo cosi, non solo delle
formole gia stabilite da GIOVANNI BERNOULLI (Acta Erud. 1712; Opera
omnia, T. T, p. 511) e dal LAGNY (Mem. de Paris, 1705), ma altre in