Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Winkelmessungen durch die Hipparchische Dioptra. 199
des Radius rechnete15). Allein der Boden des rechtwinkligen Dreiecks sollte
nicht verlassen werden; es wurde also B C zur Kathete des in den Halbkreis eingeschriebenen Dreiecks, dessen Hypotenuse der Diameter ist. Nun
BC (
wurde das Verhältnis I — in Einhundertzwanzigsteln des Diameters und
deren sexagesimalen Teilen ausgerechnet. Es ist klar, dafs wir für dieses Verhältnis keine besondere Benennung zu suchen, sondern es einfach als Sinus zu
bezeichnen hätten, wenn HIPPARCIIos und mit ihm die späteren griechischen
Astronomen dasselbe als Funktion des Peripheriewinkels BDC hätten gelten
lassen. Da dies aber nicht geschehen ist, müssen wir für die HIPPARcRische
BC chord.
Funktion )- C eine allgemeine Bezeichnung suchen und dürften mit diam.
das Wesentliche in kürzester Form treffen. Dieses Verhältnis erschien nun
dem HIPPARnHOS, vom Standpunkte des beobachtenden Astronomen aus, als
eine Funktion des Winkels, den er ins Auge falste, d. i. des Centriwinkels
~BAC, und so hat er es in seinem durch PTOLEMAIOS überlieferten xcavovvov
vrüv Ev xlKxVo E&t?ELiCoV aufgeführt. Wir gewinnen also für die HippARcmische
Funktion des Gesichtswinkels c die allgemeine Formel
chord. c 16).
dia Co = sin. -
diam. 2 ~
Statt der Sechzigstel des Radius waren Einhundertzwanzigstel des
Diameters eingetreten. Da nun jeder dieser Teile weiter in erste und
zweite Sechzigstel zerfiel, so entstand eine kleinste Einheit im Betrage
1
von 0 0' 1" =42 -0 des Diameters, deren Vielfache in den Sehnentafeln
432 ooo
bei der EV4rLcs eines jeden Winkels verzeichnet wurden17). Als Beispiel sei
die Sehne zu 00 30' (PTOLEM., Synt. I, S. 38 HEIB.) angeführt. Sie betrug
1.885
03 31'25"==32 0 0 0 des Diameters = 0,0043634. Vermindern wir diesen
432 000
15) Ein vbtjia hat ihm, wie später dem PTOLEMAIOS, als des Radius gegolten und diese Einheit ist dann weiter, wie aus den Tafeln der ev&'üea und
i7znocvCi bei PTOLEM. synt. I 11 (10) hervorgeht, in erste, zweite und dritte
Sechzigstel zerlegt worden. Vgl. in PAULY-WISSOWA's Realencyklopädie der klass.
Altertumswiss. Arithmetica Sp. 1075 f.
16) TANNERY, Hist. de l'astronomie ancienne S. 62, Anm. 1 bezeichnet nach
üblichem Brauche mit crd. das Verhältnis der Sehne zum Radius und setzt
sin. c
demnach crd. co — 2.; allein das Verhältnis zum Diameter mufs beibehalten und rechnungsmäfsig durchgeführt werden, wenn wir das Verfahren der
griechischen Astronomen uns verständlich machen wollen.
17) Vgl. ZEUTHEN, Gesch. der Mathem. S. 230 f.