Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Winkelmessungen durch die Hipparchische Dioptra. 197
gleichschenkligen Dreiecks, dessen Seiten die erwähnte, nahe dem Auge
befindliche Kugel je an einem Punkte berührten und dann im Auge selbst
sich zur Spitze des Dreiecks vereinigten. So hatte ARCHIMEDES, ohne eine
eigentliche Vorrichtung zum Visieren zu kennen, eine ungefähre Darstellung
des Winkels BAC zu Wege gebracht,
unter welchem der Sonnendurchmesser
dem Beobachter erscheint (Fig. 1). Auf
eine genaue Bestimmung konnte es
ihm gar nicht ankommen, da er für A___
seine Sandrechnung nur die Begrenzungg
brauchte, dafs die Basis C des Dreiecks BAC gröfser ist als die Seite des in den Kreis BC eingeschriebenen
Tausendeckes, woraus er dann weiter folgerte, dafs der Winkel B A C an
einem gröfsten Himmelskreise eine Sehne abteilt, die gröfser ist als die
Seite des in diesen Kreis eingeschriebenen Tausendeckes. Dazu genügte
es ihm, nachdem Basis und Seiten des Dreiecks BAC, ohne ihre Dimensionen zu verkleinern, auf einer Tafel eingezeichnet waren, mit dem Radius
AC von C über B hinaus eine Peripherie zu beschreiben, deren Sehne die
Seite des in den Kreis B C eingeschriebenen Zehnecks war. Durch fortgesetzte Halbierung erhielt er dann eine Peripherie, die 160mal in dem
ganzen Perimeter enthalten war. Hiervon nahm er einmal den vierten, ein
anderes Mal den fünften Teil und fand so, dafs die Sehne des von ihm
beobachteten Centriwinkels kleiner war als die Seite des eingeschriebenen
640eckes und gröfser als die Seite des eingeschriebenen 800eckes, mithin
auch gröfser als die Seite des eingeschriebenen Tausendeckes.
Nach der handschriftlichen Überlieferung ist die obere Grenze von
ARCHIMEDES noch um ein weniges enger gezogen worden. Statt der angeführten Teile der ganzen Peripherie giebt er in der Sandrechnung Teile
des Quadranten an. So würde er als obere Grenze 1 des rechten Winkels
160
erhalten haben; statt dessen aber hat er, wenn nicht etwa ein Fehler in
1 1
die Überlieferung eingedrungen ist, den etwas geringeren Wert 164' d. i. 16
einer Peripherie gewählt, deren Sehne gleich der Seite des in den Kreis
eingeschriebenen 41 eckes ist. Setzen wir nun statt der ARCHIMEDischen
Teile 1 und 2- des Quadranten die entsprechenden sexagesimalen Teile
164 200
1 1
des Kreises, so erhalten wir 1 R —00 33' und 20 R 0027'. Im Mittel
war also ARCHIMEDES bei der Bestimmung zu 0~ 30' stehen geblieben und
im ganzen hatte er, da er einen Fehler von 3 Minuten nach beiden Seiten
hin offen lassen mufste, minder genau beobachtet als die Babylonier; allein