Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Zur Geschichte der Prinzipien der Infinitesimalrechnung. 77
änderlichen Gröfse formuliert25) und der Reihentheorie einen allgemeinen
Konvergenzsatz zu Grunde gelegt.26) Schon aus diesen Sätzen würde sich
eine strengere Kritik der Lagrange'schen Methode als bisher ergeben können.
Was den Taylor'schen Satz betrifft, so kann BOLZANO nicht verbergen, dafs
er ihn nicht ganz in dem Sinne und in der Allgemeinheit zugebe, wie man
ihn gewöhnlich darstellt. Er hatte sich blofs zum Gesetze gemacht den
Satz nur unter solchen Umschränkungen und auf eine solche Art zu gebrauchen, wie er es nach seinen eigenen Begriffen glaubt rechtfertigen zu können
und zu seiner Zeit thun will.27) Ob er das gethan und seine Betrachtungen über
den Taylor'schen Satz niedergeschrieben hat, wissen wir nicht.28) Jedenfalls
haben die Gedanken BOLZANO's den Beifall der damaligen Mathematiker nicht
erworben und blieben ohne Einflufs auf die Entwickelung der Analysis.29)
Es war CAUCHY vorbehalten die Reformperiode der Wissenschaft zu beginnen.
Über die von CAUcHY in seinen grundlegenden Werken (Cours d'analyse aclgebriqze 1821, Besume des lemons donnees äc l'Ecolepolytechnique 1823,
Legons sur le calcul diff6erentiel etc. 1829 etc.) aufgestellten Prinzipien der
Methode der unendlich kleinen Gröfsen, über die Grundlage seiner Funktionen
und Reihentheorie brauchen wir hier nicht näher zu berichten30), denn
25) "Wenn eine Eigenschaft M nicht allen Werten einer veränderlichen
Gröfse x, wohl aber allen, die kleiner sind, als ein gewisses u, zukömmt, so giebt
es allemal eine Gröfse U, welche die gröfste derjenigen ist, von der behauptet
werden kann, dafs alle kleineren x die Eigenschaft M besitzen" (daselbst p. 41).
Dieser Satz wurde von WEIERSTRASS in seinen Vorlesungen verwendet.
1 2 n n+r
26) "Wenn eine Reihe von Gröfsen F (x), F (x) ~ F (x) * ~ F (x) von der
Beschaffenheit ist, dafs der Unterschied zwischen ihrem n-ten Gliede F (x) und
n — r
jedem späteren F(x), sei dieses von jenem noch so weit entfernt, kleiner als jede
gegebene Gröfse verbleibt, so giebt es jedesmal eine gewisse beständige Gröfse,
und zwar nur eine, der sich die Glieder dieser Reihe immer mehr nähern, und
der sie so nahe kommen können, als man nur will, wenn man die Reihe weit
genug fortsetzt" (daselbst p. 35).
27) Die drei Probleme der Rektifikation, der Complanation und
der Cubirung u. s. w. Leipzig 1817, p. 11.
28) S. auch BOLZANO, "Paradoxien des Unendlichen" (1850). Zweite unveränderte Auflage. Berlin 1889. p. 69. Vielleicht werden noch manche Arbeiten von
BOLZANO in seinem Nachlasse aufgefunden werden. Vgl. F. J. STUDNICKA, Bericht
über die mathematischen und naturwissenschaftlichen Publikationen
der kg. böhmischen Ges. d. Wiss. während ihres hundertjährigen Bestandes, Prag 1884. p. 119.
29) Eine Würdigung der Leistungen BOLZANO'S geben HANKEL (Art. Grenze
in der Allg. Encykl. von ERscH und GRUBER) und 0. STOLZ (BOLZANo's B e d eutung
in der Geschichte der Infinitesimalrechnung, Math. Ann. XIX).
30) Wir eitieren nur folgende Worte aus den Vorreden zu den Cozrs d'ana