Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

74 S. Dickstein:
die Prinzipien der Lagrange'schen Methode einer ausführlichen Analyse unterworfen. Den Ausgangspunkt bei LAGRANGE bilden die Formeln:
) f (x + i) = A + B i + Ci2 +...; 2) ft(x + i) = (x) + iP.
Woher, fragt WRONSKI, kommt uns die Kenntnis der Form 1), wie kann
man ihre Möglichkeit begründen, ist eine jede Funktion f(x + i) als solche,
mit der Reihe 1) identisch oder nur gleichwertig? LAGRANGE behauptet,
dafs die Entwickelung im allgemeinen nur ganze positive Potenzen von i
enthalten müsse, und dafs nur für spezielle Werte von x gebrochene und
negative Potenzen in der Reihe vorkommen können. Nach WRONSKI kann
eine jede Funktion p (i) im allgemeinen in eine Reihe nach Potenzen z. B.
von ca +- /i entwickelt werden, und das wechselseitige Kompensieren der
Glieder mit gebrochenen Exponenten von i, von welcher bei LAGRANGE die
Rede ist, kann sich nur als Resultat der Ausrechnung des Wertes für
spezielle Werte von x ergeben. Die Lagrange'schen Prinzipien könnten
also höchstens hypothetischen Wert und daher die Methode selbst nur
problematische Gewifsheit besitzen, während doch die Differentialrechnung
apodiktisch sein soll. Wäre aber auch die Begründung bei LAGRANGE
ganz fehlerfrei, so würden doch seine Prinzipien zur Darlegung der Infinitesimalrechnung unzureichend sein. Denn niemals könnten die Sätze 1) und
2) eine unabhängige und absolute Erklärung der Coefficienten A, B, C..
ergeben. Die Natur derselben kann keineswegs durch die Bezeichnung der
Stelle, welche sie in der unendlichen Reihe einnehmen, präzisiert werden.
Würden wir eine allgemeinere Entwickelungsreihe, z. B. die nach den Fakultäten von p (x) fortschreitende Reihe
F (x + i) = F (x + ) + F' (x) 9 (x)'/' + F" (x) 9 ()/ +...+
zum Ausgangspunkte nehmen, so würden wir zu ganz anderen Derivierten
geführt werden. Dieselben hätten im betrachteten Falle die Form
F' (x) = F (S + i ) F W [A (i) 2F (S + i * 20)
—, (i) ' ~ (i) (if/-~:/'"
und für unendlich kleine Werte von ~ und für q (i) i würden diese
Derivierten die Gestalt
20) Die Ausdrücke W im Zähler sind die zuerst von WRONSKI eingeführten
Differenz- (und Differential-)-Determinanten, die bei ihm,fonctions schin" heifsen
und jetzt oft ",,Vronskiane" genannt werden. Für i mufs eine der Wurzeln der
Gleichungen gp (i) = genommen werden.