Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

70 S. Dickstein:
Die erste Behauptung sucht LAGRANGE auf folgende Weise zu rechtfertigen. Ist f(x) eine Funktion der Variablen x und setzt man x + i,
wo i eine beliebige Gröfse ist, an Stelle von x, so wird die Funktion (x + i)
in der Form einer Reihe f(x) +- pi + qi2 + ri3 + * * darstellbar; p, q, r.'
sind Funktionen von x, die von i unabhängig sein sollen. Diese Voraussetzung, sagt er, wird durch die Entwickelungen bekannter Funktionen bestätigt, aber niemand suchte bisher dieselbe a priori zu begründen. Die
Begründung soll darin bestehen, dafs für allgemeine (unbestimmte) Werte
von x und i obige Reihe keine gebrochenen und negativen Potenzen von i
enthalten dürfe. Enthielte sie nämlich gebrochene Potenzen, so würde die
Anzahl der verschiedenen Werte der Reihe für f(x + i) - LAGRANGE hat
hier mit Wurzelgröfsen behaftete Funktionen im Auge - gröfser sein als
die Anzahl der verschiedenen Werte der Funktion f (x); was ungereimt ist.l)
Enthielte aber die Entwickelung für f(x + i) negative Potenzen von i, so
würde f(x + i) für i = 0, also die Funktion f (x) selbst, unendlich, was
nur für einzelne Werte von x stattfinden kann.
Ist die Entwickelung der Funktion f(x + i) in die Reihe
f(x) + p i + q 3 + 3...
auf diese Weise begründet, so ist damit auch die zweite Behauptung gerechtfertigt. Die Coefficienten p, q, r, * * der Reihe sind Funktionen von x;
nennt man den ersten Coefficienten p die derivierte Funktion der primitiven Funktion f(x) und bezeichnet sie durch f'(x), so wird - wie
leicht zu beweisen ist - 2 q gleich der Derivierten von p, 3 r gleich der
Derivierten von q u. s. w. Auf diese Weise erhält man die aufeinander
folgenden Derivierten der gegebenen Function: die erste f' (x)=p, die
zweite f (x)- 2 q, die dritte f"' (x) = 2 3 r u. s. w. Diese Derivierten
oder Ableitungen der gegebenen Funktion sind mit den nach der Infinitesimaloder Grenzmethode erhaltenen Differentialquotienten identisch, aber scheinbar ganz ohne Grenzbetrachtungen hergeleitet. Somit werden nach LAGRANGE
in der weiteren Entwickelung der ganzen Lehre Infinitesimalbetrachtungen
entbehrlich.
Die grofse Autorität des Namens LAGRANGE hat der,Theorie des
fonctions analytiques" schnelle Verbreitung und grofsen Einflufs gesichert.
11) ~Gette demonstration" - sagt LAGRANGE - "est gene'ale et rigoureuse,
tant que x et i demeurent indeterminees; mais elle cesserait de l'etre, si l'on donnait
ä x des valeurs determinees; car il serait possible que ces valeurs detruissent quelques radicaux dlans f(x) qzui pourraient neanmoins subsister dans f (x)." (Theorie
des f. 3e. ed. p. 9.) Einige Fälle, in welchen,la regle generale est en defaut" untersucht LAGiiANE im Kapitel V seines Werkes.