Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Developpement des procedes servant ä decomposer le quotient en quantiemes. 11
Des observations du mnene genre sur les qualites des fractions ont pu
amener a etendre la methode de la reduction par le numerateur seulement
sur un petit nombre de groupes des fractions, qui n'en admettaient point
l'application immediate. Ils n'etaient pas a meme de donner a la methode
de la reduction par le numerateur la generalite desiree, et l'on obtint
celle-ci a l'aide d'une toute autre voie. Les cas de l'application manquee
de la methode de la reduction par le numerateur avaient montre aux calculateurs attentifs qu'en divisant le numerateur et le denominateur d'une
fraction inferieure a l'unite par son numerateur, on obtient 1 pour numerateur, et pour denominateur un nombre entier avec une fraction inferieure
a 'unite. En rejetant celle-ci on avait une fraction plus grande que la
premiere, au contraire, en l'augmentant jusqu'a 1, on en avait une plus
petite. Cette derniere ayant l'unite pour numerateur pouvait etre envisagee
comme le premier membre de la decomposition en quantiemes de la fraction
donnee. Pour en obtenir les autres membres il n'y avait qu'a soumettre a
la menme decomposition la difference entre la fraction donnee et celle qu'on
acceptait comme le premier membre de sa decomposition. Le meme proces,
definissant comme nous venons de le voir, le premier membre de la decomposition aura evidemment pu etre applique a cette difference d'abord,
a la difference suivante plus tard, etc. jusqu'a ce qu'on en arrivat enfin a
la difference representee par un quantieme, ou reduite a cette forme '
l'aide de l'une des methodes prealablement connues. Le nouveau procede
de decomposer les fractions en quantiemes, decouvert ainsi par les calculateurs attentifs, conduit possible d'appliquer a toutes les fractions sans exception la methode de la reduction par le numerateur - ou, ce qui est
plus precis, le proces du calcul qui la composait - et repondait de cette
maniere au but d'en generaliser l'app]ication, auquel tendait le progres
de la methode elle-meme. LEONARDO PISANO dans son Liber Abbaci represente ce nouveau procede, ou plutot la regle qui en exprime le proces du
calcul, dans une description detaillee et sous le nom de la "septima differentia". Nous y trouvons d'abord la remarque qu'il faut l'employer dans
les cas ou les procedes qui le precedent dans le cours du livre se trouvent
inapplicables. Nous lisons ensuite que son application aux fractions decomposees, suivant les regles du deuxieme, quatrieme, cinquieme et sixieme
de ces procedes nous amene a de meilleurs resultats que n'en donne l'application de ces memes regles. A l'epoque de LEONARDO PISANO, ces procedes ci
epuisaient justement pour la methode de la reduction par le numerateur tous
les cas connus de son extension. Par consequent, on ne peut s'empecher
de voir que l'endroit cite du Liber Abbaci temoigne, par le fait meme de
son existence, que si la decomposition des fractions en quantiemes n'est