Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Developpement des procedes servant a decomposer le quotient en quantiemes. 9
Liber Abbaci l'emploi de la methode de la division dans sa forme examinee
en avait fait disparaitre la forme primitive au point que LEONARDO PISANO
dut lignorer. C'est la seule raison du reste qui en explique l'absence dans
son Liber Abbaci.
Ainsi que la methode de la division elle-meme, sa forme examinee
tout a l'heure et pouvant s'appliquer egalement a tous les quotients ou
fractions, possede une generalite parfaite. C'est pourquoi l'epithete,d'universelle" qui lui a ete donne par LEONARDO PISANO la caracterise entierement.
Nous ne savons pas que la methode de la division ait fait des progres
au dela.
Les deux methodes fondamentales servant a decomposer le quotient en
quantiemes, voire celle de la division et celle de la reduction par le numerateur, ont une difference essentielle dans le caractere tout general de la
premiere et tout prive de la seconde. A la suite de cette difference chacune des deux methodes se developpa a sa maniere, dans une direction
dissemblable a l'autre. Effectivement, tandis que le progres de la premiere
consistait a simplifier et a abreger le proces du calcul, celui de la seconde
s'occupait exclusivement a repandre son procede sur de nouveaux genres de
fractions, afin d'arriver a une forme egalement applicable a toutes les
fractions. C'est dans cette direction que se developpa la seconde methode
elle-meme et le premier cas de son extension ou la methode de la decomposition du numerateur en parties equivalentes aux facteurs du denominateur. Nous suivrons d'abord le progres de la nethode elle-mmee
pour passer ensuite a son extension premiere. I1 est a remarquer pour le
premier cas que nous pouvons en observer le developpement exclusivement
a l'aide des connaissances fournies par le Liber Abbaci, c'est-a-dire dans
les formes du calcul fractionnaire qui en ont remplace la forme primitive,
representee par le calcul des nombres concrets.
Le moyen le plus grave, le seul peut etre, de repandre la methode
de la reduction par le numerateur sur les groupes des fractions qui ne
donnent pas lieu a son application immediate, fut fourni par une observation toute simple. Elle montrait qu'en augmentant le denominateur de 1,
la difference entre la premiere fraction et la seconde est toujours equivalente au quotient provenant de la division de l'une par le denominateur
de l'autre. Dans des cas particuliers, lorsque le denominateur augmente
de 1 devient le multiple du numerateur, la fraction transformee ainsi que
la difference entre elle et sa premiere forme sont representees, une fois la
reduction par le numerateur operee, comme des quantiemes. De cette
maniere l'observation indiquee permet de decomposer la fraction en une
somme de deux quantiemes amenes a cette forme par l'application de la