Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Developpement des procedes servant a decomposer le quotient en quantiemes. 7
l'aide de la seconde des deux me6thodes fondamentales citees plus haut et
qui peut etre appellee (tout court) celle de la reduction par le numerateur (ou celle de la division des termes de la fraction par Ie numerateur), tantot elles equivalent a e, c'est-a-dire a la seule des fractions au
numerateur excedant 1, qui ait ete a la portee des calculateurs anciens et
par 1a admise dans les decompositions cherchees.
En comparant les proces des calculs exiges par la decomposition du
seul et meme quotient suivant la methode de la division employee dans
sa forme pure et simple, avec l'admission des ecartements cites plus haut,
on ne peut s'empecher de remarquer que ces derniers diminuent le nombre
des divisions successives et abregent ainsi le proces. Non obstant le desir
bien naturel d'obtenir dans la decomposition des formes plus commodes,
cette circonstance devait pousser les calculateurs a une admission toujours
plus frequente et plus consciente des ecartements en question. Le besoin
de decomposer a leur tour les quotients obtenus avec ces ecartements et
representes par les fractions aux numerateurs excedant 1, en attenuait
toutefois le profit, dans certains cas jusqu'a l'aneantir. Les cas ou il etait
possible d'appliquer a ces quotients la methode de la reduction par le
numerateur, des cas analogues a ceux que nous trouvons dans le papyrus
d'Akhmim, for9aient les calculateurs, afin de realiser cette possibilite,
d'employer pour multiplier le dividende et les restes, des nombres non
premiers et cela avec un succes d'autant plus grand que le nombre de
facteurs premiers qui les composaient etait plus considerable. Avec plus
de clarte et a cause d'un emploi frequent dans la methode de la division
sous toutes ses formes, avec plus de force encore, la methode de decomposer le numerateur en parties equivalentes aux facteurs du denominateur,
demontrait l'utilite et le besoin urgent d'employer dans le but indique les
nombres non premiers renfermant le plus grand nombre possible de facteurs
premiers. Parfois quand le nombre non premier etait adroitement choisi,
toute la decomposition du quotient suivant la methode de division se
reduisait dans son proces 'a 'action de diviser toute seule. La methode
de diviser par le numerateur et cellee d decomposer le numerateur en
parties equivalentes aux facteurs du denominateur etaient alors appliquees
au quotient et aux restes obtenus. Ces cas de plus en plus frequents
eurent pour resultat final de donner a la methode de division une forme
nouvelle et exterieurement bien differente. D'apres la description donnee
par LEONARDO PISANO dans son Liber Abbaci, non sous une forme generale, mais dans des exemples prives, cette forme qu'il nommait,regula universalis in disgregatione partium numerorum", etait ainsi congue. On