Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

D. Berechnung d. irrationalen Quadratwurzeln u. d. Erfindung d. Kettenbrüche. 153
empfindet. Er hat die Bestimmung der oberen und der unteren Grenzwerthe der irrationalen Quadratwurzeln auf Grund dieser Beispiele nach
allen Richtungen untersucht, auch gezeigt, wie man aus einem oberen Grenzwerth nach Belieben einen oberen oder einen unteren und ebenso aus einem
unteren einen oberen oder einen unteren von grösserer Genauigkeit herleiten
kann. Genug, er hat der Methode, die uns hier beschäftigt, etwa die Hälfte
seiner aus 140 engbedruckten Folioseiten bestehenden Arbeit gewidmet.
Durch die Erwägung, dass V/21 weniger als 4 &, aber mehr
2 1. _
als 4 & beträgt, dass man also sich dem wahren Werthe von 1/21-t
nähern wird, wenn man dem Zähler 5ö eine zwischen 8 und 9 liegende
Zahl, etwa 8 & -8- als Nenner giebt, wird dann Cataldi naturgemäfs
dazu geführt, die irrationale Quadratwurzel l/ a2- r durch den Kettenbruch
r r
a + -, wofür er a & - oder, des bequemeren
2a + r 2a & *.
2a +.. 2a&..
Drucks wegen, a & 2a &2a schreibt, auszudrücken.1)
Cataldi verfährt in dem zweiten, der Kettenbruch-Entwicklung bestimmten Theil seiner Arbeit mit derselben Gründlichkeit wie im ersten.
Ohne theoretische Betrachtungen, lediglich auf Beispiele gestitzt, zeigt er2),
dass die Näherungswerthe ungerader Ordnung eine steigende Reihe bilden
und sämmtlich kleiner als der gesuchte Wurzelwerth sind, während die
Näherungswerthe gerader Ordnung eine fallende Reihe bilden und sämmtlich
grösser als der Wurzelwerth sind, auch dass die Wurzel, die immer zwischen
zwei aufeinander folgenden Näherungswerthen enthalten ist, dem folgenden
näher liegt als dem vorhergehenden. Ebenso deckt er den Zusammenhang
auf, in welchem die durch das Heronische Verfahren gelieferten Näherungswerthe zu denjenigen stehen, welche die Kettenbruch -Entwicklung liefert.
Bezeichnet man nämlich die Näherungswerthe des Kettenbruchs
r ]mi P Pi P2
a + 2rT m it - q m * *2, wo dann p, = 1, q = 0, pi = a,
2a a _ r0' q, i q2
2a+..
1) Aehnlich wie Cataldi durch einen Punkt ausdrückt, dass alles Folgende
zu der mit dem Punkt versehenen Zahl gehöre, setzt Christoff Rudolff einen
Punkt hinter das Wurzelzeichen, um auszudrücken, dass dasselbe sich auf alles
Folgende beziehe. Er schreibt S. 141 seiner Coss j/. 12 + -/140 für /12 + -1140.
2) 1. c. S. 75ff.