Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

D. Berechnung d. irrationalen Quadratwurzeln u. d. Erfindung d. Kettenbrüche. 151
kann man andere Grenzwerthe ermitteln, die, sämmtlich < ]/N, sich dem
Werthe von ]/N unbegrenzt nähern.')
Diese Methode ist schon von Heron von Alexandrien2) angewandt
worden. Heron setzt /a: +- r = 2 (a + - - ), welcher Ausdruck mit
a 21a identisch ist, und fügt hinzu, dass man von dem so erhaltenen
Näherungswerthe ausgehend durch dieselbe Formel einen zweiten, dritten u. s. w.
erhalte. Nach den Darlegungen von Friedrich Hultsch3) ist es sogar
wahrscheinlich, dass sich schon Archimedes dieser Methode bedient hat,
um 1/3 zwischen zwei Grenzen einzuschliessen. Im dritten Satze seiner
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Kreismessung giebt er nämlich als untere Grenze j, als obere -3 für
]/3 an. Wie er zu diesen Werthen gelangt ist, darüber lassen sich bei
dem Fehlen jeder direkten Mittheilung nur Vermuthungen anstellen.
Hultsch legt dar, dass zunächst die obere Grenze bestimmt sei; Archir" 3
medes habe die Ungleichung /a2 -r < a - - auf den Fall a =
angewendet; dadurch ergiebt sich die obere Grenze 2- und für diesen
1351
Werth von a liefert dieselbe Ungleichung weiter 785 Diese obere Grenze,
meint nun Hultsch, habe dann zur Bestimmung der unteren dienen müssen,
und zwar habe Archimedes die Ungleichung ]/a2 - r > a - --
auf den Fall a = 26, r = 14) angewandt. Die Rechnung ergiebt für diese
1 1
Annahme 1/675 > 26- 5, und daraus folgt i 1/675, d. i. ]/3> 2 - 51,1 15 15 51.15
also 1/3> j1. Es ist möglich, dass Archimedes so gerechnet hat, obwohl der Weg ziemlich verschlungen ist, indem statt 3 erst 152. 3 gesetzt
und dann die Wurzel durch 15 dividirt ist. Vielleicht ist Archimedes
bei seiner Berechnung der unteren Grenze gleichfalls von -5 ausgegangen
und hat sich zur Auffindung eines genaueren unteren Grenzwerthes der
1) Da es hier nicht auf eine vollständige Theorie des Verfahrens ankommt, so
3. r
bleibt der Fall N = a2 - r, in welchem die Grenzwerthe a - und a - ---
2 a 2 a - 1
sein würden, unberücksichtigt.
2) Paul Tannery, Un fragment des metriques de Heron. Schlömilchs Zeitschrift f. Mathematik u. Physik. Bd. 39.
3) Die Näherungswerthe irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 28. Juni 1893.
26 1
4) Eine direkte Anwendung der Formel auf den Fall a -= 2', r =-25 würde
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