Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Drei wesentlich verschiedene Methoden sind vor der Erfindung der
Logarithmen zur angenäherten Berechnung irrationaler Quadratwurzeln gegeben worden. Die erste besteht darin, dass man die vorgelegte Zahl
N mit einer grossen Quadratzahl q2 multiplicirt, aus Nq2 mittels der
Formel ]/a2 + 2ab + b2 = a + b die Wurzel zieht und den Rest, der
sich dabei ergiebt, vernachlässigt. Der erhaltene Wurzelwerth wird sodann
durch q dividirt, und der Quotient ist ein Näherungswerth der Wurzel aus
X, um so genauer, je grösser q2 war. So verfahren z. B. der Marokkaner
Ibn Albanna'), der italienische Mathematiker Maurolycus2) u. a. Wird
für q eine Potenz von 10 genommen, was zuerst in der durch Johannes
Hispalensis aus dem Arabischen ins Lateinische übersetzten Schrift
Liber Algorismi de pratica arismetrice3) (noch unbekannten Verfassers) geschehen ist, so läuft diese Methode im Wesentlichen auf die
jetzt allgemein angewandte hinaus.
Eine zweite Methode ist von Nicolas Chuquet erfunden worden.
In dem Abschnitt,La rigle des nombres moyens" p. 101 seiner,Triparty en la science des nombres" bemerkt er, dass von dem
1 1 1 1 1
Bruch y zwei Bruchreihen ausgehen, eine fallende -, 3, —, -, * und
1 ' 2 3 4
eine steigende 2, 3 4T,-5, ' Weiter giebt er den Satz, dass der Bruch
a-c a c
+ stets zwischen den Brüchen und liegt. Das setzt ihn in den
b d b setzt in den
Stand, zwischen zwei beliebigen Zahlen einen Mittelwerth einzuschieben, und
mittels dieser Betrachtung zieht er auf S. 111 des genannten Werks die
Quadratwurzel aus 6. Da dieselbe zwischen 2 und 3 liegt, so nimmt
er zunächst 21 an. Das Quadrat von 21 ist 6-, also zu gross; daher
2 2 4 7
muss für 1/6 eine kleinere Zahl 23 genommen werden. Da sich diese als
zu klein erweist, indem (2 —) == 54 < 6 ist, so ist ein Mittelwerth zwischen
21 und 2 zu wählen; ein solcher ist 23+2 = 2 * Das Quadrat dieser
1) Le Talkhys, S. 23.
2) Francisci Maurolyci Arithmeticorum libri duo, Venetiis 1575, p. 112.
3) Trattati d'Aritmetica, pubblicati da Boncompagni. II, p. 86.