Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Zur Geschichte und Philosophie der Differentialrechnung. 131
damit zugleich auch eigentlich den sog. ersten Mittelwerthsatz der Integralrechnung, wenigstens in dem speziellen Fall, wenn h (x) gleich 1 ist. Cauchy's
bedeutendste Leistungen knüpfen an die Taylor'sche Reihe an, er gab 1826
die nach ihm benannte Form des Restes, Kiepert-Formel Nr. 49b, die
in der Anmerkung gegebene Erweiterung rührt von Roche her (Montpellier
1858, bezw. Schlömilch, Handbuch der Diff. und Integr. 1847). Von Cauchy
ist das erste "Monstrum" die Funktion e x~ behandelt, deren sämmtliche
endliche Ableitungen verschwinden, deren Maclaurin'sche Entwickelung also
für jedes x convergirt, ohne f(x) darzustellen.
Cauchy hat zuerst die Nothwendigkeit allgemein plausibel gemacht, die
Grundbegriffe der Analyse, das Unendlichkleine, die Kontinuität, die Convergenz genau zu unterscheiden und zu definiren, wenngleich ihm Gauss
und Bolzano vorangingen und ihn an Strenge übertrafen, so drangen sie
doch nicht in die Oeffentlichkeit. Cauchy hat auch die Theorie der Funktionen complexer Variabeln, wenn auch nicht geschaffen, das hat auch Gauss
vor ihm gethan, aber als neuen wichtigen Zweig in die wissenschaftliche
Welt eingeführt. Zu bemerken ist, dass Cauchy die komplexen Zahlen
nie als Zahlen anerkannt hat, wie dies Gauss, cf. die Anzeigen zur Theorie
der biquadratischen Reste, gethan hat. Cauchy hat 1814 (M6moire sur les
int6grales d6finies) gezeigt, dass die Vertauschbarkeit der Reihenfolge der
Integration nur gestattet ist, wenn keine innere Divergenz stattfindet; er hat
die entsprechende Bedingung für die Differentiation unter dem f angegeben
(Anc. exerc. Tom. II), die einfache Ableitung der Taylor'schen Reihe durch
Integralrechnung gegeben und 1831 (Mem. sur le calc. des limites) den entscheidenden Satz gegeben: Dass die Taylor'sche Reihe convergirt im Innern
eines Convergenzkreises, der durch den dem Entwicklungscentrum nächsten
singulären Punkt geht. Dass die Reihe weiter convergiren kann, dann aber
nicht die erzeugende Funktion, sondern die von der hebbaren Unstetigkeit
befreite darstellt, hat wohl zuerst Riemann ausgesprochen. Abschliessend
sind die Arbeiten von Pringsheim in den Berichten der Math.-Vereinigung
von 1893. Als bedeutendste Leistung Cauchy's gilt das M6moire von
1825 sur les integrales definies prises entre des limites imaginaires, in
welchem er die Abhängigkeit des bestimmten Integrales vom Integrationsweg nachwies (also komplexe Werthe der Variabeln zuliess) und damit den
eigentlichen Grund für die Periodicität der aus den Integralen algebraischer
Integranden entspringenden Funktionen aufdeckte. Sofort nach dem Erscheinen des Briefwechsels zwischen Gauss und Bessel wurde in der deutschen
Litter.-Zeit. von 1881 Nr. 37 darauf hingewiesen, dass Gauss im Brief
vom 18. Dez. 1811 sich bereits mit der komplexen Integration als Quelle
der Periodicität völlig vertraut zeigt. Gauss hat auch den Beweis, dass
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