Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

130 Max Simon:
ist, als sie den Zeitgenossen, die sie nicht verstanden, und daher nicht würdigten,
erschien, wie schon Cohen betont hat; spotteten doch Johann B. und L.
darüber, dass Nieuwentiit 2m und m 2 unterschied, wenn m unendlich.
Kein Bild macht das Wesen der unendlich kleinen Grössen klarer als das
von Berkeley im Spott gebrauchte; Gespenster der entschwundenen Grössen
nennt er sie, es sind die Geister der werdenden Grössen. Unter sich sind
die Differentiale gleicher Ordnung, d. h. die, welche durch gleich oft wiederholten infiniten Prozess die endliche Grösse erzeugen, völlig homogen und
vergleichbar und können alle Beziehungen von Grössen haben.
Die weitere Fortsetzung der Geschichte der Differentialrechnung würde
zu einer Geschichte der Mathematik des 18. und 19. Jahrh. werden müssen
und ist eignen Werken zu überlassen. Ein sehr wichtiger Theil der Arbeit
ist bereits geleistet durch die Geschichte der unendlichen Reihen von Reiff
Tüiib. 1.889 und hier soll nur noch auf Cauchy eingegangen werden, der
vielfach als Neubegründer der Analysis angesehen wird. Z. hat im 2. Heft
der Kopenh. Berichte von 1895 hervorgehoben, dass das 17. Jahrh. incl.
Huygens und Newton das Gefühl für die Strenge der Alten durchaus noch
besass; das Gefühl ging im Laufe des 18. Jahrh. verloren, bewies doch L.
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mittelst Wahrscheinlichkeitsrechnung, dass 1 - 1 + - 1....
wenn auch der geniale Instinkt Eulers ihn selten irren liess. Erst bei
d'Alembert und besonders Lagrange beginnt die Gegenströmung. Lagrange
hat zunächst die Differentialrechnung frei von aller Metaphysik begründen
wollen; zuerst in der Abhandlung von 1772, dann in der so berühmt gewordenen "th6orie des fonctions analytiques 1796".
Sein Grundirrthum, dass sich f(x + h) stets nach Potenzen von h
entwickeln lasse, ist bekannt. Die Ableitung f'(x) wird definirt als Koeffizient von h. Lagrange geht also von der Taylor'schen Reihe aus. Sie
findet sich zuerst in der Methodus incrementorum Brook Taylors von 1715,
den Namen gab ihr L'Huilier 1786 in der Berliner Preisschrift, die Methodus incrementorum enthält auch die Vertauschung der unabhängigen Variabeln
zuerst (Kiepert-Formel 93). Die Reihe ist in derselben naiven Weise abgeleitet, wie dies heute noch in den Schulen unter der Annahme geschieht, dass
x + E wirklich der x benachbarte Werth ist, also f(x +- ) - f(x) + -f'(x)
sei und hi = n. Maclaurin leitete dann die nach ihm genannte Reihe
mittelst der Methode der unbestimmten Koeffizienten ab. Joh. Bernoulli
reklamirte die Taylor'sche Reihe als sein Eigenthum, und in der That ist
sie im Grunde von der Bernoulli'schen Reihe, die Joh. bereits 1694 gegeben,
nicht verschieden. Lagrange dehnte in der erwähnten Abhandlung von 1772
die Reihe auf Funktionen beliebig vieler Variabeln aus und gab in der
Th6orie des fonetions, die nach ihm genannte Form des Restes (N.) und