Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

128 Max Simon:
4) Dass die Resultate richtig seien (beim Rechnen mit unendlich kleinen
Grissen), rühre von wiederholten Fehlern her, die sich ausgleichen. Der
Einwand von 4 ist oft wiederholt, von L'Huilier, Lagrange, Carnot, selbst
von Euler. N., der eine krankhafte Scheu vor allen Diskussionen hatte,
hat in seinem Hauptwerk sich fast ganz an die Grenzmethode der Alten
gehalten. Das bedeutendste Lehrbuch, das aus seiner Schule hervorging,
Maclaurins' ~Treatise of fluxions" (1742), trug den Berkeley'schen Einwänden
möglichst Rechnung, die Newton'sche Richtung überwog völlig, das Unendlichkleine war geächtet, bis Cauchy den Bann brach und "die Strenge der
einen Methode mit der Einfachheit der anderen zu versöhnen suchte" (Legons
sur le calc. diff. 1829) und 1811 Cournot das Unendlichkleine in sein Recht
einsetzte. Die Einleitung zu Cournot's Lehrbuch (90 S.) enthält die klarste
Philosophie der Differentialrechnung, die bis jetzt geschrieben. Neuerdings
ist das Vorurtheil wieder in Aufnahme, als ob die Grenzmethode strenger
sei (vergl. z. B. Stolz); dazu ist zu bemerken, dass nur durch Vermittelung
des Unendlichkleinen als eines bereits feststehenden uns gegebenen Begriffs
überhaupt von einer Annäherung an die Grenze gesprochen werden kann.
Die Grenze z. B. 1 als lim - steht a priori fest, und dass der unendliche Process sie erreicht, dass man. gleich 1 setzt, wird eben
durch den Begriff des unendlich kleinen dut erzwungen, nur darf es nicht
negativ definirt werden als die Grösse, welche kleiner als jede noch so kleine, -
da würde Einwand I statthaben -, sondern positiv durch die Gleichung
u + kduz = u, wenn k endlich. Dabei bleibt noch zu erörtern, wie man
auf das du* kommt. Seit Galilei und Kepler ist fortwährend mehr oder
minder deutlich auf die eigentliche Bedeutung des dx hingewiesen als das,
wie Cohen sagt, realisirende, d. h. die intensive Grösse, bezw. der Grössenkeim, der durch einen unendlichen Process die endliche, d. h. mit unseren
eigenen körperlichen Abmessungen vergleichbare Grösse erzeugt. Diese
realisirende Bedeutung des dx hat im bestimmten Integral niemals völlig
unterdrückt werden können. Nur weil. wir uns der einzelnen differentialen
Stufen, durch welche unser Vorstellungsvermögen i Momenten N.'s hindurchgeht, nicht bewusst sind, gehen wir von der endlichen Grösse aus und kommen
so auf das dx rückwärts durch einen unendlichen Theilungsprocess als
dessen Grenzabschluss. Dass wir im Grenzabschluss oder Grenzbegriff eine
Kategorie der Vernunft besitzen, welche den rastlosen Fortgang der nach
dem Trägheitsgesetz an sich unbegrenzten Vorstellungsreihe hemmt, ist in
neuester Zeit des öfteren betont werden. Derselbe infinite Process, der aus
dem x das dx erzeugt, erzeugt aus dem dx das d2x, etc. Dass das Unendlichkleine und das mit ihm stets verbundene Unendlichgrosse wohldefinirte Begriffe