Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Zur Geschichte und Philosophie der Differentialrechnung. 127
Briefe an Varignon, dessen Commentar zu de l'Hospital sehr wichtig ist.
Dieser schreibt sub 28. Nov. 1701: "Ich nenne infiniment petit oder Differenial
einer Grösse das, woran sie unerschöpflich ist und diese Grösse selbst unendlich gross in Bezug auf jene." Diese Auffassung erleichtert besonders
das Verständniss der höheren Differentiale, welches in jener Zeit die meiste
Schwierigeit machte. L. antwortet auch hier wie so oft sonst mit dem
Hinweis auf ~sein" Gesetz der Continuität, dem zu Folge Ruhe Grenzfall
der Bewegung, die Parabel Grenzfall der Ellipse etc. und die Gesetze, welche
im Endlichen gelten, auch im Unendlichen giltig bleiben. L. selbst hat
"sein" Gesetz wiederholt und stets schwerfällig formulirt, besser ist es von
l'Huilier gefasst, in der Preisschrift "Exposition el6mentaire des principes
des calculs superieurs (1786). Am einfachsten formulirt man: Eine Eigenschaft, welche jedem Glied einer infinit fortsetzbaren Reihe zukommt, kommt
auch ihrer Grenze zu. Aber dass das Differential, das die endliche Grösse
Erzeugende (prima ratio), also der von der Grösse selbst der Art nach
verschiedene Grössenkeim sei, das entging L. so wenig wie,aemulo" (N.).
Es ist das Verdienst H. Cohen's dies erwiesen zu haben in: "Das Princip
der Infinitesimal-Methode und seine Geschichte 1883", einer gedankenreichen Schrift, welche wohl verdiente aus dem Kantischen in's Deutsche
übersetzt zu werden. Es sei auch hier gleich auf das Ilfelder Programm
1883 von Freyer: ~Studien zur Metaphysik der Differentialrechnung" hingewiesen, das sich durch Klarheit auszeichnet und vielfach mit Cohen zusammentrifft. Herr Vivanti hat, wenigstens nach dem Ueberblick im Enneström,
beide Schriften nicht erwähnt. Da es L., weil er das Differential mit seinen
Monaden verquickt, nicht gelang, das Fundament seines Calculs klarzustellen,
so erhoben sich von allen Seiten Widersprüche, die alle zusammengefasst
und begründet sind in Berkeley's Analytiker (1734) und die, wie Freyer
treffend sagt, immer dieselben blieben bis auf den heutigen Tag; er weist
dabei auf P. du Bois-Reymond's Funktionentheorie hin, eine Schrift, die ganz
von vergeblichem Ringen nach Klarheit über den Grenzbegriff erfüllt ist.
Freyer hat die 4 wesentlichen Einwände Berkeley's (und D'Alembert's) zusammengestellt.
1) Eine unendlich kleine Quantität, ein Ding zwischen der Null und
einer endlichen Grösse sich befindend, sei nicht vorzustellen (dasselbe ist
oft genug von der unendlich grossen Quantität gesagt).
2) Das Identitätsgesetz der Logik sei verletzt, erst haben die Momente
oder Differentiale Grösse, dann wieder keine.
3) Der Begriff der Geschwindigkeit (und damit der Differentialquotient)
sei ein abgeleiteter Lässt man den Raum oder mit N. die Zeit verschwinden,
so hören die Geschwindigkeiten auf und um so mehr ihr Verhältniss.