Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Eine Geschichte der Infinitesimalrechnung hat mit den Pythagoraern
zu beginnen, welche in der irrationalen Zahl einem unbegrenzt fortsetzbaren Process einen Abschluss gaben. Einen Markstein bildet der Eleat
Zeno, der in den bekannten Beispielen des fliegenden Pfeiles und Achilleus
mit der Schildkröte die Schwierigkeit des Continuitätsbegriffes aufdeckte.
Z. wies auch zuerst auf den Widerspruch hin: das Continuum aus seinen
(ihm gleichartigen) kleinsten Theilen zusammenzusetzen, denn entweder
haben die Theile keine Grösse, dann hat ihre Summe auch keine Grösse;
oder sie haben Grösse, dann giebt ihre unendliche Wiederholung eine unendliche Grösse. Erst Aristoteles gab für die Paradoxien eine zufriedenstellende Erklärung, bei ihm findet sich auch eine wirkliche Definition
des Continuums: "Stetig sei ein Ding, wenn die Grenze eines jeden zweier
nächstfolgenden Theile, an welcher sich diese Theile berühren, eine und
dieselbe wird". Die Paradoxien aber widerlegte er mit Hilfe des Mächtigkeitsbegriffes, der hier zuerst auftritt: die Zeit und die Raumstrecke
sind von gleicher Mächtigkeit, d, h. es lässt sich jedem Raumpunkt ein
Zeitpunkt eindeutig zuordnen. Im Gegensatz zu den Eleaten kamen Leucipp
und Demokrit zu dem Hilfsbegriff, den Physik und Chemie bis heute nicht
entbehren können, dem der Atome. Die Fassung, in der der Grenzbegriff
hier auftritt, ist zwar an sich fehlerhaft, und von Aristoteles wurde der
falsche Grenzbegriff letzter Theil in einer eignen Schrift zurückgewiesen,
aber es vollzog sich doch ein wichtiger Fortschritt dadurch, dass die Nothwendigkeit des Abschlusses einer an sich unbegrenzten Vorstellungsreihe
anerkannt wurde. In der Schule Platos und mehr noch in der des Eudoxos
ist dann die eigentliche Differentialrechnung des Alterthums geschaffen worden
in der sogenannten Exhaustionsmethode. Ihr Wesen besteht darin, die zu
bestimmende Grenzgrösse, deren Existenz, und dies kann gar nicht genug
betont werden, bereits feststeht, - so die der Quadratwurzel aus dem
Pythagoras, des Flacheninhalts und Volumens aus der Anschauung, des
Schwerpunkts aus der Erfahrung, - in zwei Reihen einzuschliessen, von
denen die eine beständig fallend, die andere beständig wachsend sich der
Grenze unbeschränkt nähert. Das bekannteste Beispiel ist die Berechnung
des Kreises durch die Reihe der ein- und umgeschriebenen Polygone. Die
Methode stützt sich auf die bekannte Propos. 1 des X. Buches des Euclid:
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