Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Damit ist also die allgemeinste Form der Pell'schen Gleichung, nämlich
x2 - ay2 = Const.,
erreicht.
Wir können dafür auch folgende Gestalt herstellen:
__ (1 - a)nf 1
2s 2
indem wir Do = —S =1 setzen; in dieser Gestalt besagt die Gleichung,
D
da mit wachsendem n der Bruch rechts gegen Null abnimmt, dass - ein
Sn
Näherungswerth von / a ist, und zwar in dem Sinne, dass der wahre
Wurzelwerth stets zwischen zwei unmittelbar auf einander folgenden Näherungsbrüchen eingeschlossen bleibt.
Für a= 2, D0 = — S = 1 erhalten wir in der That die uns aus
Theon's mathematischem Commentar zu Platon bereits bekannten Näherungswerthe für ]/2, nämlich
Do _ D1 _ 3 D2 7 3D, 17 D4 41 D _ 99 -D6 239
S9o 1 S1 2 S2 5 13 12' S4 2 29 - 85 70' S6 169
Für a = — 3, DO = 2, 80 - 1 gestalten sich die Näherungswerthe von
/3, wie folgt:
Do 2 )D 5 D, 14 7 D ) 19 D4 52 26
So I~ S ~1 3 S-~2 ~ 8 4 ' S 11' S4 30 15
D5 71 D6 194 97 D7 2120 265
S, 41 ' S 112 56 ' S7 1224 153
Wir sehen hier die Näherungswerthe des Archimedes wieder erscheinen,
aber freilich - und diess ist der uns bereits bekannte, fast alle systematischen*) Methoden treffende - Einwand, nicht in der Aufeinanderfolge,
wie sie uns bei dem Autor selbst begegnet sind. Freilich aber war auch
nicht Do = 1 genommen worden.
Da macht nun Heilermann 265) den geistvollen Vorschlag, nicht für
]/a selbst, sondern für ein gewisses b 1/a die obige Bestimmung durchzuführen und den Coefficienten b den jeweiligen Umständen entsprechend zu
wählen. Setzt man z. 1. D= — S -= 1, a =, /lc= a 3, so wird
52 Y 52 26 102 52 27 54 +52
S,=2,D1=2,V3=-=- 2 2 ID -- _ _
2 = 30 15 25 D - 2 +. 2 -5 2 5
*) Zur Zeit konnten wir strenge genommen nur einer einzigen Methode, der
zweiten Buzengeiger's - nicht aber den auf gleicher Grundlage beruhenden Methoden von Oppermann und Alexejeff -- nachrühmen, dass sie ohne Zwang gerade
zu den archimedischen Quadratwurzeln führe.