Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

92 --
noch einfacheres Auflösungsverfahren, indem man
2x -E - (y + 1), x (y - 1)
q P
setzt. Löst man auf, so wird
2pq 2q2 + P~
x 22~ _ p21 2q2 — 2p2
oder, indem
2q2 2 2 = 1
sein soll,
x - 2q /q2 _ 1, = 4q2 - 1.
Für q= 1, wird x -+ 2, y = 3, der entstehende Näherungsbruch
3 99
ist also -; für q 5, wird x -+ 70, y= 99, 12 70 u. s. f. Wir
hoffen, durch diese Darstellung für 1/2 das Nämliche geleistet zu haben,
was Zeuthen ftir 1/3 gethan hat; die zuletzt signalisirte Methode lässt sich
übrigens 260) auch auf allgemeinere Fälle der Pell'schen Gleichung ausdehnen.
Wie nahe sowohl die Näherungswerthe des Archimedes, als auch diejenigen des Theon mit der Gleichung x2 - py2 = r verwandt sind, dürfte
aus Vorstehendem wohl zur Genüge erhellen*). Die letzteren lassen sich
*) Wenn auch nicht durch die Quadratwurzeln der "Kreismessung", so doch
durch eine andere an den Namen. des Archimedes sich anknipfende mathematische
Aufgabe ist jüngst eine neue Ideenverknüpfung zwischen der Pell'schen Gleichung
und jenem Geistesheroen des Alterthuns hergestellt worden. Man kennt das sogenannte problema bovinum: die Insel Sicilien beherbergt die Rinder des Helios,
und unter gewissen Bedingungen, welchen die Zahl der Thiere Genüge zu thun
hat, soll die Anzahl derselben berechnet werden. Die meisten Schriftsteller, welche
seit Lessing's Zeiten sich mit dieser Aufgabe befasst haben, kommen einerseits
darin überein, deren Urheberschaft dem Archimedes abzusprechen, andererseits
aber auch darin, in ihr eine sehr schwierige und verwickelte Frage der unbestimmten Analytik zu erkennen. Nach Krummbiegel und Amthor, denen die
Herstellung eines gereinigten Textes und eine neue Auflösung zu danken ist,
kommen nicht weniger als neun unbestimmte Gleichungen dabei in Betracht 261).
Amthor zeigt, dass den ersten acht dieser Gleichungen ohne grosse Mühe durch
freilich ziemlich grosse Zahlen entsprochen werden kann, die jedoch sämmtlich
das Quadrat einer noch unbekannten Grösse als Faktor in sich aufgenommen haben,
und um auch diese letzte Unbekannte noch zu finden, muss die Pell'sche Gleichung
x2 - 4729494 =- i1
aufgelöst werden 262). Hiezu bedarf man nach Lagrange der Entwickelung fraglicher Zahl in einen periodischen Kettenbruch, dessen Periode im gegebenen Falle
nicht weniger als 91 Glieder umfasst. Ainthor meint, die Autorschaft Archimed's
sei nicht zu bestreiten, und P. Tannery, der denselben Gegenstand einer seiner ge