Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

91 91 -
(m + 3)2 3 (rn + n)2 ( - 2 (rm2 - 3n2)
zurückgeführt, wobei wiederum vorausgesetzt ist, dass man für sm — 2 32
= bereits eine Lösung in Bereitschaft habe. Sind mz und n die betreffenden Werthe, so ist die neue Lösung durch x - n -i- 3 n, y n=m +- n
gegeben. Wäre etwa mi =s 2, n 1, so hätte man x = 5, y -3, x' —14,
'== 8, also x': 7: 4, x 38, y" = 22,also.x":y" =19: 11,
x "' 104, y" =- 60; also x": y"= -26: 15, x) = 284, y(IV) 164,
also x(IV): (I) 71: 41, () _- 776, y(v) - 448, also x(): y() = 97 56,
x(VI)= 2120, (VI) == 1224, also x(): (VI) - 265: 153, u. s. f. Alle
uns bekannten Näherungswerthe füir ]/3 finden, wie Jedermann anerkennen
muss, durch das Zeuthen'sche Verfahren ihre ganz einfache Erklärung.
Stellen wir dasselbe in Vergleich mit jenem von Tannery, so erkennen
wir bei beiden den gleichen richtigen Grundgedanken und eine ziemlich
analoge Durchführung desselben. Der Preis der Einfachheit und Natürlichkeit wird vielleicht der Methode des dänischen Mathematikers gebühren,
dagegen kommtf derjenigen Tannery's der hohe Vorzug zu, überhaupt auf
jede diophantische Gleichung von der Form x2 - py2 = r anwendbar
zu sein.Noch ehe ihm die Schrift des französischen Forschers bekannt war,
hatte sich der Verf. dieses die Behandlung der für das Theon'sche Problem
grundlegenden Gleichung 2x2 + 1 == y2 in ähnlichem Sinne zurechtgelegt
gehabt; dem Drucke ist die betreffende Note 259) allerdings erst später
übergeben worden. Es ist wiederum vorausgesetzt, eine möglichst einfache
Lösung x", y1 sei beidemale bereits bekannt. Um dann 2x2 - 1 = y
aufzulösen, konnte man
x + 1 P ( + x), x -1 (
setzen und so
X = p +2 - pq + 2- p + q2
x ö + 2pq -- )p2 + 2pq - q2
setzen. Ward jetzt der Nenner
p2 + 2py _ q2 _ 1
gesetzt, so ergab sich
x == 4 2 + 1 - 2q j/2q2 + 1, y = -- 4q2 -_ 1 +- 4q /2q2 + 1
Man wisse z. B., dass 2. 22 + 1 = 32 ist; dann ist q = 2 zu nehmen,
und man findet die neuen Werthe xi = 5, y- == 7, x2 - 29, y2 = - 41
und damit sind für 1//2 die in der That von Theon angegebenen Näherungs7 41
werthe - und 4 gefunden. Die Gleichung 2 x2 - 1 = y2 gestattet ein
5 2