Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Mit Berücksichtigung der zuerst gegebenen Gleichung folgt hieraus
x mp + aq
<A/ ~ --- -- *
t2 - a '
und wird diess oben eingesetzt, so ergeben sich die neuen Werth'e
(m2 -4- a)p +- 2aq 2Mp 4- (mi2 - a)
Pl m-a ~li
P 1 = = m2 ~* _ === ~ m 2 -- am
und jetzt ist in der That wiederum p2 - aq2 = 1. Diese Lösungen sind
zunächst blos rational; will man sie ganzzahlig haben, so hat man nur in
Anschluss an zahlreiche Beispiele Diophant's
P - (2 + cuv)p) + 2cautvq, q =- 2putv + (u2 + av2)q
zu nehmen.
Tannery erinnert mit Recht daran, dass ja Theon (Kap. I, ~. 6) einen
ganz ähnlichen Weg betreffs der Gleichung p12 2q2 = 1 einschlug; seine
Substitutionen waren
_Pi t- +2q, q 1 = ^ +
Beide Kunstgriffe, den aus Diophant entlehnten und den Theon'schen,
'kann man nun verallgemeinern und annehmen, zur Auflösung der Gleichung
p2 - aq2 = r
sei überhaupt von den Substitutionen
Pi1 a= + piq, q = Yp + dg
ausgegangen worden. ~I1 suffit pour determiner a, p, y, d de connaitre
les trois groupes de solutions les plus simples et de resoudre deux couples
d'equations du premier degre a deux inconnues" 256). Wollte man also
die für uns wichtigste Gleichung p2 -- 3 q2 == 1 auflösen, so brauchte man
nur die durch den Versuch leicht zu beschaffenden drei einfachsten Lösungen
p =- 1, q 0, p=- 2, q 1=-, p =- 7, q 4 zu kennen und fand dann
die vier Coefficienten
=2, 3= 3, y l, -2,
mit deren Hülfe die Herleitung aller weiteren Näherungswerthe von /3
ohne jede Schwierigkeit erfolgen konnte.
Wenn wir diese Darlegungen P. Tannery's lesen, glauben wir wahrlich
griechische Luft uns anwehen zu fühlen. Bei dieser Art der Berechnung
ist nur der einfachste, ja alltägliche Apparat zur Anwendung gebracht,
dessen sich die antike Zahlentheorie in sehr vielen anderen, zu unserer
Kenntniss gelangten, Fällen wirklich bediente. So können wir denn auch
von der Tannery'schen Methode sagen, was wir bislang. von keiner ihrer
mannigfaltigen Vorläuferinnen mit gutem Gewissen zu sagen vermochten:
Es ist nicht bewiesen, dass Archimedes gerade so verfuhr - denn ein