Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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welche ihm zu diesen ersten Lösungen eine beliebige Vielzahl weiterer
Lösungen hinzuzufinden lehrte, wodurch er also Näherungswerthe. von
grösserer Genauigkeit erhielt 251).
Auch dieser zweite Theil der Arbeit, welche man als Von Archimedes
geleistet annehmen muss, lässt eine doppelte Deutung zu. Tannery weist
nach 252), dass man durch verhaltnissmässig einfache Betrachtungen zu
der nämlichen cyklischen Auflösung der Pell'schen Gleichung gelangen kann,
welche uns im I. Kapitel (~. 13) bei den Indern entgegengetreten ist. Er
ist jedoch der Ansicht, dass sein Entwickelungsgang ungleich naturgemässer
ist, als jener, welchen Hankel 253) den indischen Arithmetikern unterlegt:
"mais que l'on compare," sagt er (a. a. 0.),la marche que je viens de
suivre avec le procede d'invention que propose le savant historien, et que
l'on juge de quel cöte est la simplicite et Fordre naturel." Tannery fühlt
allerdings ganz richtig heraus, dass sein Verfahren, p2 _- aq2 = 1 in ganzen
Zahlen aufzulösen, grundsätzlich mit der Darstellung
ya = E(a) - _ L i
1
Z1 - -
z2
übereinkommt, meint aber, dieser Umstand könne nicht hinderlich sein, da
er ja thatsächlich den Kettenbruch durch die Reihenentwickelung
/a == E(a)- - - O )
ersetze 254). Daran ist nicht zu zweifeln, allein trotzdem veranlasst uns
diese indirekte Kettenbruchmethode dazu, wenn uns die Wahl zwischen
diesem und einem sofort näher zu schildernden anderen Verfahren von
Tannery gelassen würde, unsere Wahl im letzteren Sinne zu treffen.
Der französische Gelehrte legt sich nämlich die Frage vor: Wie würde
wohl Diophant sich bei der Auflösung der sogenannten Pell'schen Gleichung
verhalten haben? Wir erwähnten bereits, dass diese Gleichung als solche
in den 'AQL/rlxuc eigenthümlicher Weise nicht vorkommt, allein ein so genauer Kenner dieses Werkes, wie unser Gewährsmann, weiss sich dessungeachtet aus den zahlreichen ähnlichen Gleichungen, die in jenem enthalten sind, Regeln von allgemeinerer Geltung zu verschaffen. Nach diophantischem Muster liesse sich also, wenn eine Lösung (p, q) der Gleichung
p2 aq2 = bekannt ist, folgendermaassen eine zweite, dritte... finden:
Man setze 255)
1 = Wn -)p, ql -- x + q
und bilde nunmehr die Gleichung
pi2 - aq2 — = mn2;2- 2m px -+ 12 - a - -2agx - aq2 = 1,