Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

- 86 -
Der (n +- 1)te Näherungswerth der zweiten Methode von Buzengeiger
deckt sich mit dem nten Näherungswerth der Methode von OppermannAlexejeff.
Um dieses Ergebniss passend einzukleiden, greift man am Besten auf
eine vom Verf. schon früher vorgeschlagene Terminologie zurück. Einer
zuerst von Seidel 243) gegebenen Anregung folgend stellten wir damals 244)
die folgende Definition auf: "Ist eine gewisse endliche Grösse durch Ausdrücke gegeben, welche ein unendlich fortgesetztes Wiederholen einer gewissen Operation erfordern (Reihe, Faktorenfolge, Kettenbruch, Potenz), und
stehen diese Ausdrücke in einer solchen gegenseitigen Relation, dass nicht
nur sie selbst, sondern auch ihre pten Näherungswerthe einander gleich
sind, so nennen wir solche Ausdrücke.äquivalent." In diese Kategorie der
einfachen Aequivalenz gehört z. B. die Gleichheit eines aufsteigenden mit
dem aus ihm entwickelten absteigenden Kettenbruch, wenn nämlich
bn b1
b...+ - n 12 a3 b4 b b
__ a 9Y O azbljb2 --- ~3 2
2 + ~.a4 be - b..... b
a1 ~nb 1 -i +b
gesetzt wird. Schon bei jener Veranlassung ward es jedoch als wünschenswerth betrachtet, die obige Definition zu verallgemeinern und zwar im
folgenden Sinne 245): "Zwei unendliche Ausdrücke (diess Wort im Sinne
Euler's genommen) haben eine m - nfache Aequivalenz, wenn der nte
Näherungswerth der einen dem nten des anderen gleich ist. Für n =- n
ist diese Aequivalenz die früher definirte einfache." Wir werden weiter
unten (~. 16) die Vortheile dieser Bezeichnung auch noch an einem anderen
Falle constatiren können. Für jetzt genügt es uns zu sagen:
Die Aequivalenz zwischen dem gewöhnlichen Kettenbruchverfahren und
jenem von Oppermann-Alexejeff-Buzengeiger ist eine n - 2- fache; jene
drei Methoden selbst aber stehen unter sich nicht nur in dem Verhältniss
einfacher Aequivalenz, sondern sind überhaupt, von der äusseren Einkleidungsform abgesehen, identisch.
Es übrigt noch, einen Blick auf die kleine Geschichte zu werfen, welche
diese Erkenntniss einer n - 2n-fachen Aequivalenz ebenso hat, wie
andere wichtigere Entdeckungen. Zuerst scheint den wahren Sachverhalt
Serret 246) wahrgenommen zu haben, allein seine gelegentliche Bemerkung
hatte keine weiteren Folgen, und erst Henry hat (s. o.) wieder daran erinnert. Als dann Fürst Boncompagni, wie wir erfuhren, auf die Aequivalenz
der Methoden von Pacioli und Cataldi aufmerksam wurde, legte er den
Mathematikern eine auf den Nachweis dieser Aequivalenz abzielende Frage
vor 247). Dieselbe ward gelöst von Moret-Blanc 248) und dem Verf.