Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Nikolaj Iwanowitsch Lobatschefskij. 241.
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verwandeln, wo jedes X einen der beiden Werthe 0, 1 besitzt. Gelingt es
nun, für jedes k eine Zahl Gk so zu bestimmen, dass
f(k) 2- k, f(+k + 1)< 2-k
so können höchstens tk verschiedene Glieder den Bruch 2-k in ihrer Entwickelung enthalten und in der Summe der Reihe kann 2-k keinen Koeffilienten haben, der grösser ist als tk. Demnach kann die Summe der
Reihe den Werth:
k= 1
nicht übersteigen.
Die Schwierigkeit dieses Verfahrens liegt in der Bestimmung der
Zahl gk.
Es ist bemerkenswerth, dass Lobatschefskij sein Verfahren zur Bestimmung einer oberen Gränze für die gegebene Reihe auch auf die einfache Exponentialreihe?- = co
anwendet, um die Funktionalgleichung:
anwendet, um die Funktionalgleiehung:
f(x) f(y) = f( + y)
zu beweisen. Wie es scheint, hat er das aus denselben Gründen gethan,
die später die Mathematiker veranlasst haben, zwischen gleichmässiger und
ungleichmässiger Konvergenz zu unterscheiden.
Zu S. 225, Z. 17 v. u.,Die Integrale müssen immer derart in Intervalle zerlegt werden u. s. w."
Diese Worte zeigen, dass Lobatschefskij seinen Zeitgenossen auch in
der Frage über die Grundlagen der Infinitesimalrechnung voraus war. Mit
noch grösserer Schärfe hat er seine Ansichten in der Abhandlung:,Ueber
das Verschwinden der trigonometrischen Reihen" ausgesprochen. Er giebt
darin die Definition des Differentialquotienten in folgender Form:
"Es bezeichne F(kc) eine Funktion, die sich mit x ändert und von einem
bestimmten Werthe von x bis zu x = a zunimmt. Wir theilen a - x in
a -x
i gleiche Theile und bezeichnen -. mit h. Ferner seien die Werthe
F(x), F(x + h),. i (a) bekannt für jeden noch so kleinen Werth von 7h,
das ja mit zunehmendem i unbeschrankt abnimmt. Der Quotient
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