Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Nikolaj Iwanowitsch Lobatschefskij. 237
dass Lobatschefskij die Theorien über die Eigenschaften des Raumes nicht
gebilligt haben würde, er würde vielmehr, scheint es, die Weiterentwickelung
seiner Ansichten und Gedanken in der Stellung der Frage über die nichteuklidische Geometrie erblickt haben, die wir bei Cayley und F. Klein1)
finden. Bei diesen Mathematikern wird die etwas metaphysische Frage
nach den Eigenschaften des Raumes durch die Frage nach dem Verfahren
zur Ausmessung von Abständen ersetzt. Um einen Begriff von ihrem Gedanken zu geben, wollen wir uns vorstellen, dass wir auf der geraden Linie
ABCDEFG... Abstände messen, die absolut genommen folgende Werthe
haben:
AB = 1 Werst2), BC -1 Werst, CD = Werst, 1)DE - Werst,...,
wir messen sie aber mit einem Massstabe, der sich (zum Beispiel vermöge
schneller Temperaturveränderung) verkürzt und zwar beim Uebergang von 38
AB zu BC auf die Hälfte, beim Uebergang von BC zu CD nochmals auf
die Hälfte, und so weiter. Dann wird es uns so erscheinen, als ob alle
Abschnitte unserm Massstabe gleich wären, also gleich einer Werst und
ein Abstand von zwei Werst, der der Summe der unendlichen geometrischen
Reihe
i 1 + +
gleich ist, wird subjektiv gleich einer unendlich grossen Zahl von Werst
sein; das Ende dieses Abstandes wird bei unserm Messverfahren niemals
erreicht werden können. Ein um den Punkt A mit einem Halbmesser
von zwei Werst beschriebener Kreis wird der Gränzkreis der Lobatschefskijschen Geometrie sein. Das System der Beziehungen zwischen Abständen
und Winkeln wird, wie Cayley und Klein gezeigt haben, mit dem Systeme
zusammenfallen, das die Lobatscheftskijsche Geometrie bildet.
Aber welche Stellung der Frage wir auch vorziehen mögen, die Fragen,
die unser unsterblicher Geometer auf die Tagesordnung gebracht hat, beschränken sich augenscheinlich nicht bloss auf das Gebiet der Geometrie.
An ihrer Lösung muss auch die Physiologie der Sinnesorgane (vorzugsweise
des Gesichts und des Gefühls) theilnehmen und ebenso der Zweig der
Philosophie, den man als Erkenntnisstheorie bezeichnet. Von ihrer Lösung
sind unsre Ansichten über die allgemeine Naturphilosophie abhängig.
Hierin zeigt sich nun die Grösse der Ideen Lobatschefskijs. Je stärker
der Schlag ist, den ein schwerer Körper bei seinem Fall auf ein stehendes
1) F. Klein, Ueber nicht euklidische Geometrie. (Math. Ann. Bd. IV und VI.)
A. Cayley. Address as President of British Association at Southport 1883.
2) [1067 nm.]