Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Nikolaj Iwanowitsch Lobatschefskij. 235
ist nun der Gegenstand der nichteuklidischen Geometrie. Als ein nothwendiges Hülfsmittel erscheint dabei die Vorstellung, dass diese Räume in
einem Raume von vier Dimensionen enthalten sind. Deshalb schliesst sich
die Geometrie der mehrfach ausgedehnten Räume an die nichteuklidische
Geometrie an und bildet sozusagen deren Fortsetzung; indem sie zahlreiche
Fragen der Geometrie beleuchtet, erscheint sie gegenwärtig als ein unentbehrliches Hülfsmittel bei der Lösung vieler Aufgaben der Analysis.1)
Ich erwähne zum Beispiel die merkwürdigen Untersuchungen von Poincare
über die Theorie der automorphen Funktionen und den Nutzen, den
Kronecker aus der Geometrie mehrerer Dimensionen bei der Frage über
die Trennung der Wurzeln von Systemen simultaner Gleichungen gezogen hat.
Der Gedanke Lobatschefskijs hat, wie das bei allen genialen Gedanken
zu geschehen pflegt, die mannigfaltigsten Fragen hervorgerufen. Einerseits
stellt er die Frage: Ist denn "der physische Raum unsrer Erfahrung"
wirklich ein Euklidischer Raum, wie es uns erscheint und wie unsre begränzte Erfahrung uns zu überreden versucht? Newcomb, Ball, Peirce
und andre haben sich nach dem Vorgange von Lobatschefskij mit der
Frage beschäftigt, in wie weit astronomische Beobachtungen uns gestatten,
die Frage über die Winkelsumme im Dreieck zu erledigen, und indem sie
dem von Lobatschefskij selbst angegebenen Wege folgten, sahen sie die
Antwort auf diese Frage in der Bestimmung der Parallaxen von Fixsternen.
Der königlich irische Astronom Ball, ein bekannter Gelehrter, sagt über
diese Frage Folgendes: "Die Astronomen sind oft unangenehm überrascht
gewesen, wenn sie als Ergebniss ihrer Bemühungen eine negative Parallaxe
erhielten. Schliesslich ist das im Allgemeinen eine Folge der unvermeidlichen Fehler bei solchen mühsamen Beobachtungen, aber man darf nicht
unterlassen, darauf hinzuweisen, dass, wenn der Raum wirklich eine Krümmung 36
besässe, die negative Parallaxe sich auch aus Beobachtungen von mathematischer Genauigkeit ergeben würde." Der amerikanische Gelehrte C. S. P eirc e
geht sogar noch weiter und glaubt auf Grund astronomischer Beobachtungen
bewiesen zu haben, dass unser Raum ein Lobatschefskijscher Raum ist.
Dagegen kam Zöllner auf Grund der Erscheinung, dass der Himmel
dunkel ist, und auf Grund von Untersuchungen über die gegenseitige Einwirkung von Massen, die in den Räumen der verschiedenen Arten vertheilt
sind, zu dem Schlusse, dass unser Raum zu der Klasse der Riemannschen
Räume gehört.
1) Eine schöne Darstellung der Untersuchungen über die Grundlagen der
Geometrie und über die Geometrie von mehreren Dimensionen findet man in dem
eben erschieeneen und unsrer mathematisch-physischen Gesellschaft gewidmeten
Werke Prof. Killings: ~Einfihrung in die Grundlagen der Geometrie".