Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

234 A. Wassiljef:
Arbeit Lobatschefskijs: ~Geometrische Untersuchungen zur Theorie der
Parallellinien" herausgab1), indem er einen Auszug aus dem Briefwechsel
zwischen Gauss und Schumacher beifügte. Er hat überdies der Entwickelung
der Ideen Lobatschefskijs auch ein eignes selbständiges Werk gewidmet.2)
34 Im Jahre 1867 wurde eine Abhandlung Riemanns veröffentlicht, die
auf die Möglichkeit der Geometrie eines sphärischen Raumes hinwies, einer
Geometrie, in der auch das Axiom "zwei gerade Linien können keinen
Raum einschliessen" nicht gültig ist.3) Andrerseits stellte der italienische
Mathematiker Eugenio Beltrami Untersuchungen über krumme Oberflächen an4), bei denen er sich der Principien bediente, die Gauss in seiner
berühmten Abhandlung: "Disquisitiones generales circa superficies curvas"
entwickelt hatte, und er wurde so zur Behandlung einer besondern Gattung
von Flächen geführt, den pseudosphärischen, wie er sie nannte, wobei er
auf die Uebereinstimmung der Geometrie dieser Flächen mit der Planimetrie
Lobatschefskijs hinwies. Durch Verbindung aller dieser Untersuchungen
gelangte man so zu dem Ergebniss, dass ein überall gleichartiger mathematischer Raum von drei Dimensionen (das heisst einer, in dem die Bewegung eines festen, unveränderlichen Körpers möglich ist) von dreierlei
Art sein kann. An die eine dieser drei Arten knüpft sich immer fester
und fester die Benennung: Lobatschefskijscher Raum. Die beiden
andern heissen der Euklidische und der Riemannsche Raum. Die analytische Theorie dieser Räume unterscheidet sie nach dem Vorzeichen eines
gewissen Ausdrucks, der der Krümmung einer Fläche analog ist. Für den
Euklidischen Raum ist dieser Ausdruck, die Krümmung des Raums, gleich
Null, für den Lobatschefskijschen ist er negativ und für den Riemannschen
positiv. 5)
35 Die Erforschung der Eigenschaften der Räume im allgemeinen Sinne
1) Etudes geometriques sur la theorie des paralleles, suivies d'un extrait de
la correspondance de Gauss et Schumacher. Traduit de l'Allemand par J Hoüel.
2) Essai critique sur les principes fondamlentaux de la geometrie elementaire. 1867. Seconde edition 1883.
3) Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grutnde liegen. Eine russische
Uebersetzung dieser Abhandlung, von D. M. Sinzof, befindet sich in dem Sammelwerke "Ueber die Grundlagen der Geometrie', das von der physisch-mathematischen
Gesellschaft an der Kais. Universität Kasan zum Jubiläum N. J. Lobatschefskijs
herausgegeben worden ist.
4) Saggio di una rappresentazione della geometria non-euclidea - Teorica
degli spazii di curvatura costante.
5) [Man vergleiche hierzu und zu dem Folgenden namentlich die gruppentheoretischen Arbeiten von Lie über die Grundlagen der Geometrie, s. Theorie
der Transformationsgruppen Bd. 111, Leipzig 1893.]