Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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~. 13. Vergleichung der Opp0ermainn'schen Methode mit den Kettenbrüchen. Es liegt uns nunmehr die am Schlusse von ~. 11 übernommene
Verpflichtung ob, die im vorigen Paragraphen ihrem Wesen nach vorgeführten Methoden auf ihre wahre Natur zu prüfen und -insbesondere ihren
innigen Zusammenhang mit der gewöhnlichen Kettenbruchentwickelung, sowie ihre vollständige Identität mit der von uns so genannten zweiten
Methode von Buzengeiger nachzuweisen. Um diesen beiden Pflichten zu
genügen, knüpfen wir am besten an den von Alexejeff für a, gegebenen
independenten Ausdruck an.
Die ohne Beweis aufgestellten Formeln sind 242):.__ (7o/ + Voo)2' + (V7o - t1o)T'
ü (r +,Y)' + ('ä V- 2
2 V/
Der Beweis ist leicht zu führen, denn aus den obigen Rekursionsformeln
kann man sofort entnehmen, es müsse
2n, z n n
2, x +y! x ~y
2 ' 2 /4
sein, denn nur unter dieser Voraussetzung wird, wie es sein muss,
+l l f n n +?1 | +1 fl n o n+1
2r A y~+2 " y2y 2 + x y2 -22y 2+Y2
~ +AQn 4
- x2fl+l+y2"+
n+l 2n — 1+l
x i -
dem Werthe ca und dem Werthe b verlaufenden Argumentcurve in dem betreffenden Intervalle durch eine gerade Linie ersetzt werden dürfe, so ist die Interpolationsformel bekanntlich diese:
1h, a- 1
und daraus fliesst
2ab
h -
a +- b
Das Alles muss unbedenklich zugestanden werden, allein die Idee, die durch
einen ersten Annäherungsprocess erhaltenen Glieder zur Grundlage für einen
zweiten mehr convergirenden Process zu nehmen, will uns auch nach Henry's
Ausführungen für einen griechischen Geometer nicht anders denn als zu modern
erscheinen.
O'