Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Dieser Bruch ist, wie aus dem Hergang ohne Weiteres zu schliessen
ist, ein irreducibler, und man darf sonach
Pn Pi2-t A?z E i,
Pn P n - l Qn - 1
setzen. Im Falle, dass A eine Primzahl ist, muss b =- 1, a == A gesetzt
werden, und es treten sonach gewisse Vereinfachungen in den obigen
Formeln ein.
Soll nun für's Erste die Frage beantwortet werden, ob diese Art der
Einschliessung in Grenzen wohl bis auf Archimedes selbst zurückgeführt
werden dürfe, so ist allerdings zuzugeben, dass bei Jamblichos die analylytische Gleichung
a + b 2ab
ca -t - a + b
vorkommt 239), welche die Basis der Methode bildet. Allein, wie schon
erwähnt, liegt ein grosses Hinderniss in dein Umstande, dass gerade fül
j/3 die archimedischen Zahlen gar nicht oder doch nur mit lHülfe eines
Kunstgriffes zu erhalten sind.*)
*) Auf diesen Uebelstand hat später Ch. Henry hingewiesen, der auch zuerst
der Alexejeff'schen Methode den Charakter der Neuheit abgesprochen und sonst
mehrere geschichtliche Notizen über dieselbe beigebracht hat, welche umstehend
ihre Verwerthung fanden 240). Sein Vorschlag, diesem Mangel abzuhelfen, will
uns jedoch nicht recht einleuchten. Er sagt nämlich 241): ~Posons 3= 3. 1.
La moyenne arithnmetique ou la mediation de ces nombres est 2, la, moyenne
3 5
hatmonique -. La mediation de cette mediation et de cette moyenne est-, la
9
moyenne harmonique 9-, Auf diese Weise gelangt er durch fortgesetzte Medie26 1351
täten-Bildung zu 1- und ---. Allein unserer Rechnung nach ist das arithmetische
2.2. —
Mittel2i yo n (~ 2~ und ~ — 2 qMittel von 2 und 2 = (2 ) -, das harmonische Mittel =- 7
u 2 \ 4 3 7
2 2
Es muss also wohl angenommen werden, Henry habe, um das gewünschte Ziel zu
erreichen, an den ersten Mittelwerthen gewisse Aenderungen angebracht, und da
über diese keine Rechenschaft gegeben wird, so verliert auch das Schlussergebniss
an Gewicht. Henry zeigt (a. a. 0.) auch, wie man durch eine einfache Construktion sich von dem Satze Ma > Mlg > Mh überzeugen k önne, und weist auf
eine andere Art der Verwendung von Mh bei gewissen den Griechen nicht unbekannten Nähernngsrechnungen hin. Bei der Anfertigung seiner Sehnentafel habe
Hipparch es sicher nicht vermeiden können, zwischen zwei gegebene Werthe einen
dritten Werth einzuschalten. Darf man annehmen, cass das Stück der zwischen