Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Vor wenigen Jahren veröffentlichte der Russe Alexejeff, ohne von
seinen Vorgängern Kenntniss zu haben, eine Abhandlung 238), deren wesentlicher Inhalt in einer gewissen Verallgemeinerung des Oppermann'schen
Verfahrens besteht. Er zerlegt die Zahl A, aus welcher die zweite Wurzel
gezogen werden soll, in das Produkt der Theiler aO und bo (bo < j/A < ao)
und setzt alsdann (s. o.)
2Ä < 1/A < a. + bo,
ao + o <- o <
ao+ b o<
Wird dann a a, - bo -- b1 gesetzt, so ist wiederum
2~b < jA < pa + bi
a, + b, <<
2A
Ist allgemein -_ N = N = bn, so gelangt
o2 an - bln -
man endlich zu
2 A - an + b
n d- bn <42
und da
bo < bi < b2 ~* * < bn- < b < < /A < a < a - * * < a2 < a < a0
ist, so lässt sich ersichtlich die Annäherung bis zu jeder willkürlichen Grenze
treiben. Um an zu bestimmen, hat man die rekurrente Beziehung*)
Pn 1 nP-1 Qn, 1 n - + -+Qn-1
a,-Q 2 Q 1 + P2 Pn i Q~-~
Q' -- nS - 1 \On P i- 2 Qn
sehr bald zu brauchbaren Näherungswerthen. So z. B. bekommen wir für zwei
der in der "Kreismessung" vorkommenden Irrationalitäten (Kap. I, ~. 2) dieses
Schema:
3014 > 19082321 > 3013, 2340 > 1 5472132 1> 2339,
2 16
6028 0> 9082321 >6027 4679 > 1/5472132 t 4678
2 >1/9082321> 2 25V 16 25
12 6 > 16 9082324 > 1055 9358 > -/4 32 ___9
2 4 4 16 4
12055 3 9357 1
-4 = 3013 - und 23 - sind nun aber auch wirklich die Werthe,
4. 4 4 4
welche Archimedes für die fraglichen Quadratwurzeln angiebt.
*) Da wir bisher und auch im folgenden Paragraphen die Näherungswerthe
des eingliedrig periodischen Kettenbruches mit Pn: Qn bezeichnen, so wurden
zum Unterschiede die von Alexejeff eingeführten Zeichen durch Akute charakterisirt.
Abh. zur Gesch. der Mathem. IV. 6