Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Briefe von G. Eisenstein an M. A. Stern,
sei - 3 n, so kommt
(9 n)\ 1 - 3^ ^) (3 n)! (11 n)\ (19 M!,
also multiplicando
(3 n)! (9n)! 312"! (9 )! (17 n)! (3 )! (11 n)! (19wn)!
q-l
Hier ist 312 n=32 (3), aber () =( () = 1, weil q — 1 (mod. 4);
also kommt n! (11 n)! (17 n)! (19 n)! - 1 (mod. q). Statt a! im Zähler
kann man immer b! im Nenner schreiben, wenn a +- b -= q - 1, und man
nicht vergisst, mit (- 1)a+1 zu multiplizieren; dies folgt aus a! b! b (- l)'+1.
Schreibt man daher statt (17 n)! und (19 n)! resp. ( —). und (5/ so
kommt
n! (l 9n)! - 17n-+1 _ 9n-l -- 1
(5 n)! (7 n)!
d.h. n! (11 n) (5 n)! (7n)! quod erat dem.
Ihre Kongruenz geht also aus doppelter Anwendung von
(3 z)! -z 33 (-) z! (z - 8-n)! (z + 16 n)! (mod. 24n + 1)
hervor. - Um nicht identische Formeln für verschieden zu halten, ist
es sehr wesentlich, statt Binomialkoeffizienten Fakultäten allein zu betrachten
und alle Fakultäten x! so zu reduzieren, dass x< q wird. - Um bei
Ihrem Falle q = 24 n + I noch stehen zu bleiben, kann man nach allen
Relationen fragen, die überhaupt zwischen n!, (2 n)!, (3 n)!,.. (lln)
stattfinden, denn (12 n)! — 1 und die folgenden drücken sich in diesen
aus, z. B. (13n)! in (I1 n)! u. s. w. Sei br. c. (fvn)! == []. Setzt man
in obige Formel n, 2 n, 3 n.. 8 n statt z, so bekommt man das System
[3] - 5 [] [ (- 33[1 [9] [17]1]
[6] - - 36" [2] [10] [18] ' 36f [2] [10]: [6]
[9] - 39" [3] [11] [19] (- 1)5" 39" [3] [11]: [5]
[12] 2 - 22 [4] [12] [20] - [4] [12]: [4],
wird identisch; die folgenden geben nichts neues, also hat man zunächst
3 Relationen
[3] [7] (- 1)" 35n [l] [9], [6]2 = 3 6 [2] [10]
und [5] [9] (- l)" 39n [3] [11];
man findet andere Relationen, wenn man 9 = 2, 4 oder 8 statt 3 setzt
und die Formel für ein gerades & anwendet. -
Nächstens mehr von dergleichen entweder schriftlich oder müiindlich. -
Mit der Schnelligkeit, mit der ich Ihre Abhandlung über irrationalwertige